Conjetura de Andrica

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para los 100 primeros números primos.
para los 200 primeros números primos.
para los 500 primeros números primos.

La conjetura de Andrica (por Dorin Andrica) es una conjetura sobre las diferencias entre números primos consecutivos[1]

La conjetura establece que la desigualdad

se cumple para todo , donde es el -ésimo número primo. Si denota la n-ésima diferencia entre primos consecutivos, la conjetura de Andrica puede expresarse como

Evidencia empírica[editar]

Imran Ghory usó datos de espacios entre primos muy grandes para mostrar que la conjetura es cierta para valores de menores a 1.3002 x 1016.[2]

El comportamiento de la función discreta se muestra en las gráficas de la derecha. Los valores más altos de se producen para n = 1, 2, y 4, con

0,670873 ...,

sin que se produzca un valor más grande entre los primeros 105 primos. Dado que la función de Andrica decrece asintóticamente a medida que crece, es necesario que se vayan produciendo diferencias entre primos consecutivos cada vez mayores para generar valores altos de cuando se hace grande. Por lo tanto parece muy probable que la conjetura sea verdad.

Generalizaciones[editar]

Como una generalización de la conjetura de Andrica, puede considerarse la siguiente ecuación:

donde es el -ésimo primo y n puede ser cualquier entero positivo.

Es fácil ver que la solución más grande posible se tiene para , cuanto xmáx=1. Para la solución más pequeña posible se ha conjeturado que es xmín 0.567148 ... , que se produce cuando .

Esta conjetura puede considerarse como una conjetura de desigualdad, la generalización de la conjetura de Andrica:

para

Véase también[editar]

Notas y referencias[editar]

  1. D. Andrica, Note on a conjecture in prime number theory. Studia Univ. Babes-Bolyai Math. 31 (1986), no. 4, 44--48.
  2. Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math, John Wiley & Sons, Inc., 2005, p.13.

Enlaces externos[editar]