Teorema del límite central

El teorema del límite central o teorema central del límite (el nombre viene de un documento científico escrito por George Pólya en 1920, titulado Über den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und das Momentenproblem​ [Sobre el «teorema del límite» (Grenzwertsatz) central del cálculo probabilístico y el problema de los momentos]. El teorema indica que, en condiciones muy generales, si S_n es la suma de n variables aleatorias independientes y de varianza no nula pero finita, entonces la función de distribución de S_n «se aproxima bien» a una distribución normal (también llamada distribución gaussiana, curva de Gauss o campana de Gauss). Así pues, el teorema asegura que esto ocurre cuando la suma de estas variables aleatorias e independientes es lo suficientemente grande.​​

Definición

Sea ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ la función de densidad de la distribución normal definida como​

$f_{\mu ,\sigma ^{2}}(x)={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\;e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}},$

con una media µ y una varianza σ². El caso en el que su función de densidad sea ${\mathcal {N}}(0,1)$, a la distribución se le conoce como normal estándar.

Se define S_n como la suma de n variables aleatorias, independientes, idénticamente distribuidas, y con una media µ y varianza σ² finitas (σ²≠0):

$S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}\,$

de manera que, la media de S_n es n·µ y la varianza n·σ², dado que son variables aleatorias independientes. Con tal de hacer más fácil la comprensión del teorema y su posterior uso, se hace una estandarización de S_n como

$Z_{n}\ =\ {\frac {S_{n}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}$

para que la media de la nueva variable sea igual a 0 y la desviación estándar sea igual a 1. Así, las variables Z_n convergerán en distribución a la distribución normal estándar N(0,1), cuando n tienda a infinito. Como consecuencia, si Φ(z) es la función de distribución de N(0,1), para cada número real z:

$\lim _{n\to \infty }\operatorname {Pr} (Z_{n}\leq z)=\Phi (z)\,$

donde Pr( ) indica probabilidad y lim se refiere a límite matemático.

Enunciado formal

De manera formal, normalizada y compacta el enunciado del teorema es:​

Teorema del límite central: Sea ${X_{1}}$, ${X_{2}}$, ..., ${X_{n}}$ un conjunto de variables aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas con media μ y varianza $0<\sigma ^{2}<\infty$. Sea $S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}\,$ Entonces $\lim _{n\to \infty }\Pr \left({\frac {S_{n}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}\leq z\right)=\Phi (z)\,$.

Es muy común encontrarlo con la variable estandarizada Z_n en función de la media muestral ${\overline {X}}_{n}$,

${\frac {{\overline {X}}_{n}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}},$

puesto que son equivalentes, así como encontrarlo en versiones no normalizadas como puede ser:​​

Teorema (del límite central): Sea ${X_{1}}$, ${X_{2}}$, ..., ${X_{n}}$ un conjunto de variables aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas de una distribución con media μ y varianza σ2≠0. Entonces, si n es suficientemente grande, la variable aleatoria ${\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ tiene aproximadamente una distribución normal con $\mu _{\bar {X}}=\mu$ y $\sigma _{\bar {X}}^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}$.

Nota: es importante remarcar que este teorema no dice nada acerca de la distribución de ${X_{i}}$, excepto la existencia de media y varianza.​

Propiedades

• El teorema del límite central garantiza una distribución aproximadamente normal cuando n es suficientemente grande.

• Existen diferentes versiones del teorema, en función de las condiciones utilizadas para asegurar la convergencia. Una de las más simples establece que es suficiente que las variables que se suman sean independientes, idénticamente distribuidas, con valor esperado y varianza finitas.

• La aproximación entre las dos distribuciones es, en general, mayor en el centro de las mismas que en sus extremos o colas, motivo por el cual se prefiere el nombre "teorema del límite central" ("central" califica al límite, más que al teorema).

• Este teorema, perteneciente a la teoría de la probabilidad, encuentra aplicación en muchos campos relacionados, tales como la inferencia estadística o la teoría de renovación.

Varianza nula o infinita

En el caso de n variables aleatorias X_i independientes e idénticamente distribuidas, cada una de ellas con varianza nula o infinita, la distribución de las variables:

$S_{n}={\frac {X_{1}+\dots +X_{n}}{n}}$

no convergen en distribución hacia una normal. A continuación se presentan los dos casos por separado.

Varianza infinita

Considérese el caso de variables que siguen una distribución de Cauchy:

$F_{X_{i}}(x)={\frac {1}{\pi }}\arctan x$

En este caso puede demostrarse que la distribución asintótica de S_n viene dada por otra distribución de Cauchy:

$F_{S_{n}}(x)={\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {x}{n}}$

Para otras distribuciones de varianza infinita no es fácil dar una expresión cerrada para su distribución de probabilidad aunque su función característica sí tiene una forma sencilla, dada por el teorema de Lévy-Khintchine:​

$\varphi _{S_{n}}(t)=\exp \left[ist-c|t|^{\alpha }\left(1+i\gamma \ {\frac {t}{|t|}}u(t,\alpha )\right)\right]$

donde $c\geq 0,-1\geq \gamma \geq 1,0<\alpha \geq 2$ y:

$u(t,\alpha )={\begin{cases}\tan {\cfrac {\pi \alpha }{2}}&\alpha \neq 1\\{\cfrac {2}{\pi }}\ln |t|&\alpha =1\end{cases}}$

Las condiciones anteriores equivalen a que una distribución de probabilidad sea una distribución estable.

Varianza nula

Este caso corresponde trivialmente a una función degenerada tipo delta de Dirac cuya función de distribución viene dada por:

$F_{X_{i}}(x)=\int _{-\infty }^{x}\delta (s-x_{0})\ ds={\begin{cases}0&x<x_{0}\\1&x\geq x_{0}\end{cases}}$

En este caso resulta que la variable $S_{n}$ trivialmente tiene la misma distribución que cada una de las variables independientes.

Véase también

• Ley de los grandes números
• Distribución normal
• Teorema de De Moivre-Laplace

Referencias

• Blaiotta, Jimena; Delieutraz, Pablo (30 de julio de 2004). «Teorema central del límite» (PDF). Consultado el 15 de diciembre de 2010. 
• Behar Gutiérrez, Roberto; Grima Cintas, Pere (2004). 55 respuestas a dudas típicas de Estadística. Madrid: Ediciones Díaz de Santos, S.A. pp. 187-189. ISBN 84-7978-643-4. 

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Teorema del límite central.

• Datos: Q190391
• Multimedia: Central limit theorem / Q190391