En matemáticas, una relación binaria[1] homogénea es una relación matemática entre dos elementos que pertenecen al mismo conjunto. Una relación de se puede representar mediante pares ordenados para los cuales se cumple una propiedad , de forma que , y se anota:
Que se lee: la relación binaria es el conjunto de pares ordenados pertenecientes al producto cartesiano , y para los cuales se cumple la propiedad que los relaciona.
Por oposición a la relación binaria heterogenia, o correspondencia matemática donde los dos elementos de la relación binaria son de conjuntos diferentes.
Esta relación puede cumplir o no una determinada propiedad de la relación binaria homogénea según estas propiedades se determina una determinada estructura en el conjunto respecto a la relación binaria definida.
Reflexividad
En una relación binaria homogénea la reflexividad determina la posible relación de un elemento con sigo mismo, en todos los casos, nunca o a veces.
Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos
Se dice que esta relación binaria homogénea es relación irreflexiva, si cumple:
Relación irreflexiva: la relación R es irreflexiva si ningún elemento a de A está relacionado con sigo mismo.
Para todo a de A se cumple que (a,a) no pertenece a R
Propiedad no irreflexiva
Una relación es no irreflexiva si:
Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos
Se dice que esta relación binaria homogénea es relación no irreflexiva, si cumple:
Relación no irreflexiva: la relación R es no irreflexiva si existen elementos a de A que están relacionados con sigo mismo.
Existen elementos a de A que cumplen que (a,a) pertenece a R
Propiedad arreflexiva
Una relación es arreflexiva si:
Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos
Se dice que esta relación binaria homogénea es relación arreflexiva, si cumple:
Relación arreflexiva: la relación R es arreflexiva si existen elementos a de A que están relacionados con sigo mismo y existen elementos b de A que no están relacionados con sigo mismo.
Existen elementos a de A que cumplen que (a,a) pertenece a R y existen elementos b de A que cumplen que (b,b) no pertenece a R
Simetría
En una relación binaria homogénea la simetría determina la posible de que si un elemento a está relacionado con otro b el b este relacionado con el a, en todos los casos, nunca o a veces.
Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos
Se dice que una relación binaria homogénea es relación antisimética, si cumple:
Relación antisimétrica: la relación R es antisimetrica si el elemento a está relacionado con b, entonces b no está relacionado con a.
Para todo a, b de A si cumple que (a,b) pertenece a R, entonces (b,a) no pertenece a R.
Propiedad no antisimétrica
Una relación es no antisimétrica si:
Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos
Se dice que una relación binaria homogénea es relación no antisimética, si cumple:
Relación no antesimétrica: la relación R es no antisimetrica si existe el elemento a que está relacionado con b y b que está relacionado con a.
Existe a, b de A que cumple que (a,b) pertenece a R y (b,a) pertenece a R.
Propiedad asimétrica
Una relación es asimétrica si:
Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos
Se dice que una relación binaria homogénea es relación asimética, si cumple:
Relación asimétrica: la relación R es asimetrica si existe el elemento a que está relacionado con b y b está relacionado con a y existe el elemento c que está relacionado con d y d no está relacionado con c.
Existe a, b de A que cumple que (a,b) pertenece a R y (b,a) pertenece a R y existe c, d de A que cumple que (c,d) pertenece a R y (d,c) no pertenece a R.
Transitividad
En una relación binaria homogénea, la transitividad, determina la posible relación de un elemento con un segundo, la de este segundo con un tercero y la del primero con el tercero, en todos los casos, nunca o a veces.
Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos
Se dice que una relación binaria homogénea es relación transitiva, si cumple:
Relación transitiva: la relación R es transitiva si el elemento a está relacionado con b y b esta relacionad con c, entonces a está relacionado con c.
Para todo a, b, c de A si se cumple que (a,b) pertenece a R y (b,c) pertecece a R, entonces (a,c) pertenece a R.
Propiedad no transitiva
Una relación es no transitiva si:
Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos
Se dice que una relación binaria homogénea es relación no transitiva, si cumple:
Relación no transitiva: la relación R es no transitiva si existen los elementos a que está relacionado con b y b que esta relacionad con c y a no esta relacionado con c.
Existen a, b, c de A que cumple que (a,b) pertenece a R y (b,c) pertecece a R y (a,c) no pertenece a R.
Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos
Se dice que una relación binaria homogénea es relación intransitiva, si cumple:
Relación intransitiva: la relación R es intransitiva si el elemento a está relacionado con b y b esta relacionad con c, entonces a no está relacionado con c.
Para todo a, b, c de A si se cumple que (a,b) pertenece a R y (b,c) pertecece a R, entonces (a,c) no pertenece a R.
Propiedad no intransitiva
Una relación es no intransitiva si:
Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos
Se dice que una relación binaria homogénea es relación no intransitiva, si cumple:
Relación no intransitiva: la relación R es no intransitiva si existen los elementos a que está relacionado con b y b que esta relacionad con c y a está relacionado con c.
Existen a, b, c de A que cumple que (a,b) pertenece a R y (b,c) pertecece a R y (a,c) pertenece a R.
Propiedad atransitiva
Una relación es atransitiva si:
Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos
Se dice que una relación binaria homogénea es relación atransitiva, si cumple:
Relación atransitiva: la relación R es atransitiva si existen los elementos: a que está relacionado con b y b que está relacionado con c y a está relacionado con c, y existen los elementos d que está relacionado con e y e está relacionado con f y d no está relacionado con f.
Existen a, b, c de A que cumplen que (a,b) pertenece a R y (b,c) pertenece a R y (a,c) pertenece a R y existen d, e , f de A que cumplen que (d,e) pertenece a R y (e,f) pertenece a R y (d,f) no pertenece a R.
Peter J. Pahl; Rudolf Damrath (2012). Mathematical Foundations of Computational Engineering(en inglés)2. Springer Science & Business Media. ISBN978-3-642-63238-9.
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