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*-álgebra

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En matemáticas, más específicamente en álgebra abstracta, un *-álgebra (o álgebra involutiva) es una estructura matemática que consta de dos anillos involutivos y , donde es conmutativo y tiene la estructura de un álgebra asociativa sobre . Las álgebras involutivas generalizan la idea de la conjugación en un sistema numérico, por ejemplo los números complejos y conjugación compleja, matrices sobre los números complejos y la conjugada traspuesta, y operadores lineales sobre un espacio de Hilbert y el Operador adjunto. Aun así, puede pasar que una álgebra no admite ninguna involución en absoluto.

Definición

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*-Anillo

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Un *-anillo es un anillo con una función , el cual es un antiautomorphism y una involución. De una forma más precisa, dados se cumplen las condiciones[1]

  1. Linealidad: .
  2. Contravariante: .
  3. Idempotencia: .

Esto también puede ser llamado como anillo involutivo o anillo con involución. Note que si el anillo tiene unidad multiplicativa, digamos , entonces .

Elementos tales que son llamados auto-adjuntos.[2]

También, es posible definir *-versiones de objetos algebraicos, como ideales y subanillos, con el requisito de ser *-invariante, por ejemplo si es un ideal y entonces si diremos que es un *-ideal.

*-Álgebra

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Una *-álgebra es un *-anillo, con una involución * que es una álgebra asociativa sobre un *-anillo conmutativo con involución , tal que para todo y . A menudo el anillo corresponde a los números complejos (con como conjugación compleja).

Sigue de los axiomas que * en es antilineal en , es decir,

para todo

Un *-homomorfismo es un homomorfismo de *-álgeras que es compatible con las involuciones de y , es decir, para todo (donde y son las involuciones de y respectivamente).[2]

Ejemplos

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  • Cualquier anillo conmutativo es un *-anillo con la involución trivial ( para todo ).
  • El ejemplo más familiar de un *-anillo y una *-álgebra sobre los reales , es el cuerpo de los números complejos dónde * es la conjugación compleja.
  • Una extensión de cuerpos hecha al adjuntar una raíz cuadrada (como la unidad imaginaria ) es una *-álgebra sobre el cuerpo original, considerado como un *-anillo trivial (involucón trivial). La involución * corresponde al cambio de signo de aquella raíz cuadrada.
  • Cuaterniones, números complejos hiperbólicos y números duales. Note que ninguno de estos ejemplos es una álgebra compleja.
  • Los cuaterniones de Hurwitz forman un *-anillo conmutativo.
  • El álgebra de matrices , donde * corresponde a la transposición.
  • El álgebra de matrices , donde * corresponde a la traspuesta conjugada.
  • En el álgebra de los operadores lineales acotados sobre un espacio de Hilbert , la operación * corresponde al operador adjunto.

Álgebras sin involución

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No toda álgebra admite una involución (no trivial). Considerando las matrices 2×2 sobre los números complejos ,podemos tomar la siguiente subalgebra:

Cualquier antiautomorfismo no trivial necesariamente tiene la forma:

para cualquier número complejo . Luego podemos ver que este antiautomorfismo falla en ser idempotente (esto es, ):

de este modo concluimos que no admite involución alguna.


Véase también

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Referencias

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  1. Weisstein, Eric W. (2015). «C-Star Algebra». Wolfram MathWorld. 
  2. a b Baez, John (2015). «Octonions». Department of Mathematics. University of California, Riverside. Archivado desde el original el 25 de marzo de 2015. Consultado el 27 de enero de 2015.