Matriz transpuesta

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La transpuesta AT de una matriz A puede ser obtenida reflejando los elementos a lo largo de su diagonal. Repitiendo el proceso en la matriz transpuesta devuelve los elementos a su posición original. Así, la transpuesta de una transpuesta es la matriz original, (AT)T = A.

Sea una matriz con filas y columnas. La matriz transpuesta, denotada con .[1] [2]

Está dada por:

En donde el elemento de la matriz original se convertirá en el elemento de la matriz transpuesta .

Ejemplos[editar]

Otro ejemplo un poco más grande es el siguiente:

Propiedades[editar]

  • Para toda matriz ,
Demostración
Se recurre a la definición de transposición elemento a elemento, sean aij dichos elementos, denotando por A = (aij)ij a la matriz, se tiene

  • Sean A y B matrices con elementos en un anillo y sea :
Demostración
Denotando por A = (aij)ij, B = (bij)ij y A+B = (cij)ij, donde cij = aij+bij, se tiene

Demostración
Se recurre a la definición de producto por escalar como operación externa

sea dij = c aij, con esta notación se tiene c A = (dij)ij, por transposición queda

  • Para el producto usual de las matrices y ,
Demostración
Se recurre a la definición de producto matricial, sean A = (aij)ij, B = (bij)ij y A B = (cij)ij entonces por definición

por transposición queda

que coincide con la definición de producto para Bt At

  • Si es una matriz cuadrada cuyas entradas son números reales, entonces

es semidefinida positiva.

Demostración
Sean A una matriz de tamaño m × n y x un vector columna de n componentes perteneciente a un espacio normado, con denotando la norma euclídea.

de las propiedades de la norma se deduce xt At A x ≥ 0 para todo x, luego At A es semidefinida positiva.

Definiciones asociadas[editar]

Una matriz cuadrada es simétrica si coincide con su transpuesta:

Una matriz cuadrada es antisimétrica si su transpuesta coincide con su inverso aditivo.

Si los elementos de la matriz son números complejos y su transpuesta coincide con su conjugada, se dice que la matriz es hermítica.

y antihermítica si

Vale la pena observar que si una matriz es hermítica (matriz simétrica en el caso de matriz real) entonces es diagonalizable y sus autovalores son reales. (El recíproco es falso).

Véase también[editar]

  • La definición de matriz transpuesta se usa en la definición de Matriz ortogonal.
  • Escítala : Instrumento antiguo para cifrar mensajes basado en la transposición de matrices.

Referencias[editar]

  1. García Merayo, Félix (1995). «7.5». Lecciones prácticas de cálculo numérico (1 edición). Universidad Pontifica Comillas. p. 96. ISBN 9788487840685. 
  2. Kurmyshev, Evguenii (2003). «2.2.3». Fundamentos de métodos matemáticos para física e ingeniería (1 edición). LIMUSA SA. p. 35. ISBN 9789681863661. 

Enlaces externos[editar]