Matriz antisimétrica

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Una matriz antisimétrica es una matriz cuadrada A cuya traspuesta es igual a su negativa, es decir vale la relación AT = -A.

Una matriz de m × n elementos (m = filas, n = columnas) :


A = 
\begin{pmatrix}
  a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n}\\
  a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n}\\
  a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n}\\
  \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
  a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn}\\
\end{pmatrix}

es antisimétrica (o hemisimétrica), si es una matriz cuadrada (m = n) y  a_{ji} = -a_{ij} para todo i, j =1,2,3,...,n. En consecuencia,  a_{ii} = 0 para todo i. Por lo tanto, la matriz A asume la forma:

A={\begin{pmatrix}0&a_{{12}}&a_{{13}}&\cdots &a_{{1n}}\\-a_{{12}}&0&a_{{23}}&\cdots &a_{{2n}}\\-a_{{13}}&-a_{{23}}&0&\cdots &a_{{3n}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{{1n}}&-a_{{2n}}&-a_{{3n}}&\cdots &0\\\end{pmatrix}}


Ejemplo[editar]

La matriz


A = 
\begin{pmatrix}
  {0} & {-2} & {4}\\
  {2} & {0} & {2}\\
  {-4} & {-2}&{0}\\
\end{pmatrix}

es antisimétrica, ya que


A^T =
\begin{pmatrix}
  {0} & {2} & {-4}\\
  {-2} & {0} & {-2}\\
  {4} & {2}&{0}\\
\end{pmatrix}
=-A


La diagonal principal se conserva y todos los otros números son cambiados de signo al opuesto. Nótese que la matriz traspuesta de la matriz antisimétrica A es -A, y que la antisimetría es respecto a la diagonal principal.

Si n=m es impar el determinante de la matriz siempre será 0.

Descomposición en matriz simétrica y antisimétrica[editar]

Sea A una matriz cuadrada, esta se puede descomponer en suma de parte simétrica y antisimétrica de la siguiente forma:


A = \frac{1}{2}\left(A+A^T\right)+\frac{1}{2}\left(A-A^T\right)

donde la parte antisimétrica es


\frac{1}{2}\left(A-A^T\right)
Demostración
Se utilizan las propiedades de la transposición.

\begin{array}{rcl}\left(\frac{1}{2}\left(A-A^T\right)\right)^T&=&\frac{1}{2}\left(A-A^T\right)^T=\frac{1}{2}\left(A^T-\left(A^T\right)^T\right)\\&=&\frac{1}{2}\left(A^T - A\right) = -\frac{1}{2}\left(A-A^T\right)\end{array}

Queda entonces demostrado por definición que 
\frac{1}{2}\left(A-A^T\right)
es antisimétrica.

Véase también[editar]

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