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También hay ciertas magnitudes, como la [[temperatura]] o la [[altitud|altura]] toman valores por debajo del cero. La altura del [[Monte Everest|Everest]] es 8848 [[metro]]s por encima del [[nivel del mar]], y por el contrario, la orilla del [[mar Muerto]] está 423 metros por debajo del nivel del mar; es decir, su altura se puede expresar como −423 m. |
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Revisión del 16:20 17 ene 2017
Los números enteros son un conjunto numérico que contiene los números naturales, sus inversos aditivos y el cero. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que es positivo.
Vamos a tener entonces:
- Números naturales Ν: 1, 2, 3...
- Inversos aditivos de los números naturales: -1, -2, -3...
- El cero: 0
El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}, letra inicial del vocablo alemán Zahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]).
En la recta numérica encontramos los números negativos a la izquierda del cero y a su derecha los positivos
Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario tener en cuenta el signo del resultado.
Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas. Pueden utilizarse para contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100 alumnos de último curso que pasaron a educación secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero también puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos.
También hay ciertas magnitudes, como la temperatura o la altura toman valores por debajo del cero. La altura del Everest es 8848 metros por encima del nivel del mar, y por el contrario, la orilla del mar Muerto está 423 metros por debajo del nivel del mar; es decir, su altura se puede expresar como −423 m.
Holaaa
Historia
Los números enteros negativos son el resultado natural de las operaciones suma y resta. Su empleo, aunque con diversas notaciones, se remonta a la antigüedad.
El nombre de enteros se justifica porque estos números positivos y negativos, siempre representaban una cantidad de unidades no divisibles (por ejemplo, personas).
No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos, aunque matemáticos italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido en sus trabajos acerca de solución de ecuaciones de tercer grado. Sin embargo, la regla de los signos ya era conocida previamente por los matemáticos de la India.[1]
El cero y los números negativos surgen del manejo de oposición o conceptos como el del vació o el de no ser, que son fundamentales para la construcción de la negatividad. (Gallardo y Abraham)
Introducción
Los números negativos son necesarios para realizar operaciones como:
- 3 − 5 = ?
Cuando el minuendo es más pequeño que el sustraendo, la resta no puede realizarse con números naturales. Sin embargo, hay situaciones en las que es útil el concepto de números negativos, como por ejemplo al hablar ganancias y pérdidas:
Ejemplo: Un hombre juega a la ruleta dos días seguidos. Si el primero gana 2000 pesos y al día siguiente pierde 1000, el hombre ganó en total 2000 − 1000 = $ 1000. Sin embargo, si el primer día gana 500 y al siguiente pierde 2000, se dice que perdió en total 2000 − 500 = $ 1500. La expresión usada cambia en cada caso: ganó en total o perdió en total, dependiendo de si las ganancias fueron mayores que las pérdidas o viceversa. Estas dos posibilidades se pueden expresar utilizando el signo de los números negativos (o positivos): en el primer caso ganó en total 2000 − 1000 = + $ 1000 y en el segundo ganó en total 500 − 2000 = − $ 1500. Así, se entiende que una pérdida es una ganancia negativa.
Números con signo
Los números naturales 1, 2, 3,... son los números ordinarios que se utilizan para contar. Al añadirles un signo menos («−») delante se obtienen los números negativos:
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Además, para distinguirlos mejor, a los números naturales se les añade un signo más («+») delante y se les llama números positivos.
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El cero no es positivo ni negativo, y puede escribirse con signo más o menos o sin signo indistintamente, ya que sumar o restar cero es igual a no hacer nada. Toda esta colección de números son los llamados «enteros».
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La recta numérica
Los números enteros negativos son más pequeños que todos los positivos y que el cero. Es decir, todo número que se encuentra ubicado a la derecha es mayor que el número que se encuentra ubicado a la izquierda. Para entender como están ordenados se utiliza la recta numérica:
Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto más a la izquierda, es decir, cuanto mayor es el número tras el signo. A este número se le llama el valor absoluto:
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Ejemplos. |+5| = 5 , |−2| = 2 , |0| = 0.
El orden de los números enteros puede resumirse en:
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Ejemplos. +23 > −56 , +31 < +47 , −15 < −9 , 0 > −36
Operaciones con números enteros
Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, igual que puede hacerse con los números naturales.
Suma
En la suma de dos números enteros, se determina por separado el signo y el valor absoluto del resultado.
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Ejemplos. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) + (−28) = −61
La suma de números enteros se comporta de manera similar a la suma de números naturales:
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Ejemplo.
- Propiedad asociativa:
- [ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44)
- (−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44)
- Propiedad conmutativa:
- (+9) + (−17) = −8
- (−17) + (+9) = −8
Además, la suma de números enteros posee una propiedad adicional que no tienen los números naturales:
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Resta
La resta de números enteros es muy sencilla, ya que ahora es un caso particular de la suma.
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Ejemplos
(+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15
(−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13
(−4) − (−8) = (−4) + (+8) = + 4
(+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7
Multiplicación
La multiplicación de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar por separado el signo y valor absoluto del resultado.
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Para recordar el signo del resultado, también se utiliza la regla de los signos:
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Ejemplos. (+4) × (−6) = −24 , (+5) × (+3) = +15 , (−7) × (+8) = −56 , (−9) × (−2) = +18.
La multiplicación de números enteros tiene también propiedades similares a la de números naturales:
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Ejemplo.
- Propiedad asociativa:
- [ (−7) × (+4) ] × (+5) = (−28) × (+5) = −140
- (−7) × [ (+4) × (+5) ] = (−7) × (+20) = −140
- Propiedad conmutativa:
- (−6) × (+9) = −54
- (+9) × (−6) = −54
La suma y multiplicación de números enteros están relacionadas, al igual que los números naturales, por la propiedad distributiva:
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Ejemplo.
- (−7) × [ (−2) + (+5) ] = (−7) × (+3) = −21
- [ (−7) × (−2) ] + [ (−7) × (+5) ] = (+14) + (−35) = −21
Propiedades algebraicas
- El conjunto de los números enteros, considerado junto con sus operaciones de adición y multiplicación, tiene una estructura que en matemáticas se denomina anillo; y posee una relación de orden. Los números enteros pueden además construirse a partir de los números naturales mediante clases de equivalencia.
Véase también
Referencias
- ↑ Raúl Rodríguez y otros.« Cálculo diferencial e integral. » Primera parte. Editorial Pueblo y Educación. La Habana (1988) pág. 2
Bibliografía
- Bayley, R.; Day, R.; Frey, P.; Howard, A.; Hutchens, D.; McClain, K. (2006). Mathematics. Applications and Concepts. Course 2 (en inglés). McGraw-Hill. ISBN 0-07-865263-4.
Enlaces externos
- Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre número entero.