Desigualdad triangular

Desigualdad del triángulo.

La desigualdad triangular es un teorema de geometría euclidiana que establece:

En todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera es siempre mayor a la longitud del lado restante. ​

Este resultado ha sido generalizado a otros contextos más sofisticados como espacios vectoriales. Definido matemáticamente, cualquier triángulo cumple la siguiente propiedad:

$a<(b+c),\qquad b<(a+c),\qquad c<(a+b)$

donde a, b y c son los lados.

Espacios vectoriales normados

El teorema se pide como axioma para definir los espacios vectoriales normados (espacios vectoriales donde hay una norma $\|\cdot \|$ definida), resultando en la siguiente versión de la desigualdad triangular:

En todo espacio vectorial normado $V,\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\ \ \left\|{\vec {x}}+{\vec {y}}\right\|\leq \left\|{\vec {x}}\right\|+\left\|{\vec {y}}\right\|$

En particular, la recta real es un espacio vectorial normado con el valor absoluto como norma. Entre otras condiciones, se satisface la desigualdad triangular:

Para cualesquiera dos números a y b se cumple: $|a+b|\leq |a|+|b|$

cuya demostración es:

Demostración

(Ámbito → ℝ). Haciendo uso de las propiedades del valor absoluto, es posible escribir:

$-|a|\leq a\leq |a|$

$-|b|\leq b\leq |b|$

Sumando ambas inecuaciones:

$-(|a|+|b|)\leq a+b\leq |a|+|b|$

A su vez, usando la propiedad de valor absoluto $|c|\leq d$ si y solo si $-d\leq c\leq d$ en la línea de arriba queda:

$|a+b|\leq |a|+|b|$

Generalización de la desigualdad triangular para cualquier número de sumandos

La desigualdad triangular puede generalizarse a un número arbitrario de sumandos:

$|x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}|\leq |x_{1}|+|x_{2}|+\cdots +|x_{n}|$,

es decir:

$\left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right|\leq \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|.$

donde n es un número natural, y los $x_{i}$ son números reales.

Demostración

La demostración es un ejemplo clásico de prueba por inducción matemática. Como casos iniciales observamos que para n=1: $|x_{1}|\leq |x_{1}|$ puesto que el símbolo $\leq$ es una disyunción lógica (menor o igual) que contempla ya el caso de igualdad Cuando n=2, obtenemos la desigualdad triangular clásica $|x_{1}+x_{2}|\leq |x_{1}|+|x_{2}|$ Supongamos ahora que la condición se ha verificado hasta un cierto valor k de n. Esto es, asumimos que se ha verificado $\left|\sum _{i=1}^{k}x_{i}\right|\leq \sum _{i=1}^{k}|x_{i}|.$ Queda por demostrar que la afirmación es cierta también para el siguiente valor, k+1. Partimos de la siguiente expresión: $\left|\sum _{i=1}^{k+1}x_{i}\right|=\left|\sum _{i=1}^{k}x_{i}+x_{k+1}\right|$ y observando que $\sum _{i=1}^{k}x_{i}$ es un número real y $x_{k+1}$ es otro, podemos aplicar la desigualdad triangular para dos sumandos: $\left|\sum _{i=1}^{k}x_{i}+x_{k+1}\right|\leq \left|\sum _{i=1}^{k}x_{i}\right|+|x_{k+1}|$ Aplicamos ahora la afirmación para n=k sumandos $\left|\sum _{i=1}^{k}x_{i}\right|\leq \sum _{i=1}^{k}|x_{i}|.$ la cual habíamos supuesto como cierta y la sustituimos para obtener $\left|\sum _{i=1}^{k}x_{i}+x_{k+1}\right|\leq \sum _{i=1}^{k}|x_{i}|+|x_{k+1}|.$ Sin embargo, esta última expresión es precisamente $\sum _{i=1}^{k+1}|x_{i}|.$ de manera que hemos demostrado $\left|\sum _{i=1}^{k+1}x_{i}\right|\leq \sum _{i=1}^{k+1}|x_{i}|.$ y por medio de inducción matemática, el resultado queda establecido para cualquier valor de n.

Desigualdad de Minkowski

La desigualdad triangular puede generalizarse aún más para integrales (Riemann, Riemann-Stieltjes, Lebesgue-Stieltjes, etc):

$\left|\int _{A}f(x){\text{d}}\mu (x)\right|\leq \int _{A}|f(x)|{\text{d}}\mu (x)$

así como también para espacios L^p. Sea S un espacio medible, sea 1 ≤ p ≤ ∞ y sea f y g elementos de L^p(S). Entonces f + g es de L^p(S), y se tiene

$\|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}$

con la igualdad para el caso1 < p < ∞ si y sólo si f y g son positivamente linealmente dependientes (que significa que f = λg o g = λf para algún λ ≥ 0).

Esta desigualdad se llama desigualdad de Minkowski y está demostrada en su propio artículo. Igual que la desigualdad de Hölder, la desigualdad de Minkowski se puede especificar para sucesiones y vectores haciendo:

$\left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{1/p}$

para todos los números reales (o complejos) x₁, ..., x_n, y₁, ..., y_n y donde n es el cardinal de S (el número de elementos de S).

Véase también

• Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Bibliografía

• Hardy, G., Littlewood J.E., Polya, G. (1999). Inequalities, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8
• H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Chelsea, reprint (1953)
• M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4

• Datos: Q208216
• Multimedia: Triangle inequality / Q208216