Usuario:Lufve/Taller/1 + 2 + 4 + 8 + ⋯

En matemáticas, 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ es la serie infinita cuyos términos son las sucesivas potencias de dos. Como serie geométrica, se caracteriza por su primer término, 1, y su razón común, 2. Al ser una serie de números reales, no tiene límite finito.

Las cuatro primeras sumas parciales de 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯.

La serie puede ser manipulada para así obtener resultados matemáticos curiosos. Por ejemplo, el sumatorio de Ramanujan de esta serie es -1, el cual es también el límite de la serie utilizando el sistema 2-ádico.

Suma

Las sumas parciales de $1+2+4+8+\cdots$ son $1,3,7,15,\ldots$ porque divergen hacia el infinito.

Cualquier método de suma regular da una suma de números infinitos, incluyendo la suma de Cesàro y la suma de Abel. Por otra parte, hay al menos un método útil que suma $1+2+4+8+\cdots$ hacia el valor finito de −1. La siguiente serie de potencias

$$f(x)=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+\cdots +2^{n}{}x^{n}+\cdots ={\frac {1}{1-2x}}$$

tiene un radio de convergencia en 0 de ${\frac {1}{2}}$, por lo tanto no converge en $x=1.$

Sin embargo, la función $f$ tiene una única extensión analítica al plano complejo con el punto $x={\frac {1}{2}}$ eliminado, y viene dada por la misma regla $f(x)={\frac {1}{1-2x}}.$ Como $f(1)=-1,$ se dice que la serie original $1+2+4+8+\cdots$ es sumable (E) a −1, y −1 es la (E) suma de la serie.

Una aproximación casi idéntica (la adoptada por el propio Euler) es considerar la serie de potencias cuyos coeficientes son todos 1, esto es,

$$1+y+y^{2}+y^{3}+\cdots ={\frac {1}{1-y}}$$

y sustituyendo en $y=2.$ Estas dos series están relacionados por la sustitución $y=2x.$

El hecho de que la sumación de Euler asigne un valor infinito a $1+2+4+8+\cdots$ muestra que el método general no es totalmente regular. Por otra parte, posee otras cualidades deseables para un método de suma, incluyendo estabilidad y linealidad. Estos dos axiomas obligan a que la suma sea −1, ya que hacen válida la siguiente manipulación:

${\begin{array}{rcl}s&=&\displaystyle 1+2+4+8+16+\cdots \\&=&\displaystyle 1+2(1+2+4+8+\cdots )\\&=&\displaystyle 1+2s\end{array}}$

$s=\infty$ es una raíz de la ecuación $s=1+2s.$ Por ejemplo, $\infty$ es uno de los dos puntos fijos de la transformación de Möbius $z\mapsto 1+2z$ en la esfera de Riemann. Si se conoce algún método de suma que devuelva un número ordinario para $s$, y no es $\infty ,$ entonces se podrá determinar fácilmente. En este caso, $s$ puede ser restado a ambos lados de la ecuación, dando $0=1+s,$ entonces $s=-1.$​

Referencias

• Euler, Leonhard (1760). «De seriebus divergentibus». Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 5: 205-237. 
• Gardiner, Tony (2002). Understanding infinity: the mathematics of infinite processes (Dover edición). Dover. ISBN 0-486-42538-X. 
• Hardy, G. H. (1949). Divergent Series. Clarendon Press. LCC QA295. 

Véase también

• Serie de Grandi
• 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• Complemento a dos