Sumación de Cesàro

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En el campo del análisis matemático, la sumación de Cesàro es un método alternativo de asignarle una suma a una serie infinita. Si la serie converge en la forma usual a una suma α, entonces la serie es sumable Cesàro y posee una suma de Cesàro α. La relevancia de la sumación de Cesàro es que es posible que una serie que diverge tenga una suma de Cesàro.

La sumación de Cesàro fue inventada por el analista italiano Ernesto Cesàro (1859-1906).

Definición[editar]

Sea {an} una sucesión, siendo

s_k = a_1 + \cdots + a_k

la suma k–ésima de los primeros k términos de la serie

s_k = \sum_{n=1}^k a_n.

La sucesión {an} se denomina sumable Cesàro, con una suma de Cesàro α, si

\lim_{n\to\infty} \frac{s_1 + \cdots + s_n}{n} = \alpha.

Ejemplos[editar]

Sea an = (-1)n+1 para n ≥ 1. Es decir, {an} es la sucesión

1, -1, 1, -1, \ldots.

Entonces la sucesión de sumas parciales {sn} es

1, 0, 1, 0, \ldots,

así que la serie, conocida como serie de Grandi, claramente no converge. Por otro lado, los términos de la secuencia {(s1 + ... + sn)/n} son

\frac{1}{1}, \,\frac{1}{2}, \,\frac{2}{3}, \,\frac{2}{4}, \,\frac{3}{5}, \,\frac{3}{6}, \,\frac{4}{7}, \,\frac{4}{8}, \,\ldots,

así que

\lim_{n\to\infty} \frac{s_1 + \cdots + s_n}{n} = 1/2.

Por tanto, la suma de Cesàro de la sucesión {an} es 1/2.

Generalizaciones[editar]

En 1890, Ernesto Cesàro mencionó una familia más amplia de métodos de sumación desde entonces llamada (C, n) para enteros no negativos n. El método (C, 0) es la suma ordinaria, y (C, 1) es la sumación de Cesàro tal como está descrita más arriba.

Los métodos de orden superior son descritos como sigue: Dada una serie Σan, sean las cantidades

A_n^{-1}=a_n; A_n^\alpha=\sum_{k=0}^n A_k^{\alpha-1}

y sea Enα = Anα para la serie 1 + 0 + 0 + 0 + · · ·. Entonces la suma (C, α) de Σan es

\lim_{n\to\infty}\frac{A_n^\alpha}{E_n^\alpha}

en caso de existir.[1]

Véase también[editar]

Notas[editar]

  1. Shawyer and Watson pp.16-17

Referencias[editar]

Shawyer, Bruce and Bruce Watson (1994). Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. Oscford UP. ISBN 0-19-853585-6.