Serie de Grandi

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La serie infinita 1 − 1 + 1 − 1 + · · · es a veces llamada serie de Grandi, en honor al matemático, filósofo y sacerdote italiano Guido Grandi, quién en 1703 realizó trabajos destacados sobre esta serie. Es una serie divergente, lo que implica que no posee suma en el sentido usual de la misma. Por otra parte, su suma de Cesàro es 12.

Su notación sigma es:


\sum_{n=0}^{\infin} (-1)^n

Heurística[editar]

Un método obvio con el que se puede atacar la serie

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·

es tratarla como una serie telescópica y realizar las restas que resultan:

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + · · · = 0 + 0 + 0 + · · · = 0.

Por otra parte, un procedimiento de agrupamiento similar conduce a un resultado aparentemente contradictorio

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · · = 1 + 0 + 0 + 0 + · · · = 1.

Según la forma en que se ubiquen paréntesis sobre la serie de Grandi, es posible obtener un "valor" 0 ó 1. Utilizando álgebra se puede obtener un tercer valor. Escribiendo

S = 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·,

entonces

1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + · · ·) = S, por lo tanto S = 12.

Se llega a la misma conclusión si se calcula −S, restando el resultado de S, y resolviendo 2S = 1.[1]

Las manipulaciones indicadas previamente no indican cual es el significado que tiene la suma de la serie. Aun así, considerando que no debería importar la forma en que se ubican los paréntesis en una serie, y que es muy importante poder realizar aritmética con ellas, es que se extraen dos conclusiones:

  • La serie 1 − 1 + 1 − 1 + · · · no tiene suma.[2] [1]
  • ...pero su suma debe ser 12.[2]

En efecto, se puede enunciar y demostrar formalmente estas dos aseveraciones utilizando conceptos matemáticos que fueron desarrollados en el siglo XIX. Luego de la introducción del cálculo en Europa hacia finales del siglo XVII, pero antes del advenimiento del rigor moderno, la tensión entre estas dos aseveraciones alimentó una "violenta" e "interminable" disputa entre los matemáticos.[3] [4]

No convergencia[editar]

En matemáticas moderna, la suma de una serie infinita, si es que existe, se define como igual al límite de la secuencia de sus "sumas parciales". La secuencia de las sumas parciales de la serie de Grandi es (1, 0, 1, 0, …) - lo que no "tiende" a ningún número (a pesar de que posee dos puntos de acumulación en 0 y 1 ). Por lo tanto, la serie de Grandi es no-convergente, u oscilante.

Se puede demostrar que no es legal realizar muchas operaciones aparentemente inócuas sobre una serie, como reordenar sus términos individuales, a menos que la serie sea absolutamente convergente. De lo contrario estas operaciones pueden modificar el resultado de la suma. Es fácil ver como es posible reordenar los términos de la serie de Grandi para obtener cualquier número entero - no solo el 0 o el 1.

Notas[editar]

  1. a b Devlin p.77
  2. a b Davis p.152
  3. Kline 1983 p.307
  4. Knopp p.457

Referencias[editar]

  • E. W. Hobson, The theory of functions of a real variable and the theory of Fourier's series (Cambridge University Press, 1907), section 331. The University of Michigan Historical Mathematics Collection [1]
  • E. T. Whittaker and G. N. Watson, A course of modern analysis, 4th edition, reprinted (Cambridge University Press, 1962), section 2.1.