Teorema de Laplace

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El teorema de Laplace (también conocido como regla de Laplace o desarrollo de Laplace), así llamado en honor del matemático francés homónimo es un teorema matemático que permite simplificar el cálculo de determinantes en matrices de elevadas dimensiones a base de descomponerlo en la suma de determinantes menores.

El teorema afirma que el determinante de una matriz es igual a la suma de los determinantes de los adjuntos de cualquier fila o columna de la matriz, lo que reduce un determinante de dimensión n a n determinantes de dimensión n-1. Aplicado de forma sucesiva, permite llegar a matrices 3x3 (con lo que se puede aplicar la regla de Sarrus) o 2x2 (en el que el determinante es el producto de la diagonal principal menos el de la secundaria).

Se puede optimizar los cálculos aplicando la regla de Chio y haciendo ceros lo que reduce el número de determinantes de rango inferior a calcular.

Conceptos previos[editar]

Antes de afrontar el cálculo de determinantes por el teorema de Laplace, vamos a ver algunos conceptos necesarios para su desarrollo.

Matriz cuadrada[editar]

Una matriz en la que número de filas sea igual al de columnas, se denomina matriz cuadrada, si el número de filas y de columnas es n, se denomina matriz n×n o matriz cuadrada de orden n.


   A = 
   \begin{pmatrix}
      a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots  & a_{1,n} \\
      a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots  & a_{2,n} \\
      \vdots  &         & \ddots  & \vdots  \\
      a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots  & a_{n,n}
   \end{pmatrix}

Determinante de una matriz[editar]

Se llama determinante de una matriz cuadrada de orden n, cuyos términos pertenecen al cuerpo K, al escalar que se obtiene al sumar todos los diferentes productos de n elementos, que se pueden formar con los elementos de la matriz, de modo que en cada producto figuren elementos de todas las filas y todas las columnas de la matriz, a cada producto se le asigna el signo: (+), si la permutación de los subíndices de filas de sus elementos es de la misma clase que la permutación de los subíndices de las columnas y el signo: (–) si las permutaciones son de distinta clase.


   \det(A) = 
   \begin{vmatrix}
      a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots  & a_{1,n} \\
      a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots  & a_{2,n} \\
      \vdots  &         & \ddots  & \vdots  \\
      a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots  & a_{n,n} 
   \end{vmatrix}

Menor complementario[editar]

Partiendo de una matriz cuadrada: A, de orden n, se llama menor complementario del elemento  a_{ij} \; , y lo representamos  \alpha_{ij} \; al determinante de la matriz cuadrada de orden n-1 que resulta de eliminar de la matriz A la fila i y la columna j.

Dada la matriz cuadrada de orden 5:


   A = 
   \begin{pmatrix}
      a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & a_{1,4} & a_{1,5} \\
      a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & a_{2,4} & a_{2,5} \\
      a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & a_{3,4} & a_{3,5} \\
      a_{4,1} & a_{4,2} & a_{4,3} & a_{4,4} & a_{4,5} \\
      a_{5,1} & a_{5,2} & a_{5,3} & a_{5,4} & a_{5,5}
   \end{pmatrix}

el menor complementario del elemento  a_{2,3} \; , será  \alpha_{2,3} \; :


   \alpha_{2,3} = 
   \begin{vmatrix}
      a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,4} & a_{1,5} \\
      a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,4} & a_{3,5} \\
      a_{4,1} & a_{4,2} & a_{4,4} & a_{4,5} \\
      a_{5,1} & a_{5,2} & a_{5,4} & a_{5,5}
   \end{vmatrix}

y el menor complementario del elemento  a_{2,2} \; , será  \alpha_{2,2} \; :


   \alpha_{2,2} = 
   \begin{vmatrix}
      a_{1,1} & a_{1,3} & a_{1,4} & a_{1,5} \\
      a_{3,1} & a_{3,3} & a_{3,4} & a_{3,5} \\
      a_{4,1} & a_{4,3} & a_{4,4} & a_{4,5} \\
      a_{5,1} & a_{5,3} & a_{5,4} & a_{5,5}
   \end{vmatrix}

Adjunto de un elemento[editar]

Se llama adjunto del elemento  a_{ij} \; y se representa  A_{ij} \; al determinante que resulta al atribuir el signo: (+) al menor complementario  \alpha_{ij} \; si i+j es par o el signo: (–) si i+j es impar.


   A_{ij} = (-1)^{(i+j)} \; \alpha_{ij}

Dada la matriz cuadrada de orden 5:


   A = 
   \begin{pmatrix}
      a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & a_{1,4} & a_{1,5} \\
      a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & a_{2,4} & a_{2,5} \\
      a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & a_{3,4} & a_{3,5} \\
      a_{4,1} & a_{4,2} & a_{4,3} & a_{4,4} & a_{4,5} \\
      a_{5,1} & a_{5,2} & a_{5,3} & a_{5,4} & a_{5,5}
   \end{pmatrix}

el adjunto del elemento  a_{2,3} \; , será  A_{2,3} \; :


   A_{2,3} =
   -
   \begin{vmatrix}
      a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,4} & a_{1,5} \\
      a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,4} & a_{3,5} \\
      a_{4,1} & a_{4,2} & a_{4,4} & a_{4,5} \\
      a_{5,1} & a_{5,2} & a_{5,4} & a_{5,5}
   \end{vmatrix}

y el adjunto del elemento  a_{2,2} \; , será  A_{2,2} \; :


   A_{2,2} =
   +
   \begin{vmatrix}
      a_{1,1} & a_{1,3} & a_{1,4} & a_{1,5} \\
      a_{3,1} & a_{3,3} & a_{3,4} & a_{3,5} \\
      a_{4,1} & a_{4,3} & a_{4,4} & a_{4,5} \\
      a_{5,1} & a_{5,3} & a_{5,4} & a_{5,5}
   \end{vmatrix}

Caso general[editar]

Partiendo de una matriz cuadrada de grado n, según el teorema de Laplace el valor de su determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila o columna por sus adjuntos, así tomando una fila f cualesquiera el determinante es:


   \det(A) =
      \sum_{j=1}^n a_{f,j} \; A_{f,j}

Y tomando una columna c, será:


   \det(A) =
      \sum_{i=1}^n a_{i,c} \; A_{i,c}

Función recursiva para el cálculo del determinante de una matriz[editar]

Podemos concluir con una Función recursiva para el calculo del determinante, sabiendo que el valor del determinante de una matriz de orden uno es el único elemento de esa matriz, y el de una matriz de orden superior a uno es la suma de cada uno de los elementos de una fila o columna por los Adjuntos a ese elemento, como en la función recursiva se emplea la misma función definida el calculo lo haremos por Menor complementario, un ejemplo desarrollado por la primera fila seria:


   \det (A_{j,j}) =
   \left \{
   \begin{array}{llcl}
      si & j = 1 & \to & a_{1,1} \\
                                 \\
      si & j > 1 & \to & \displaystyle \sum_{k=1}^j \; (-1)^{(1+k)} \cdot a_{1,k} \cdot \det( \alpha_{1,k})
   \end{array}
   \right .

Matriz 3×3[editar]

Partiendo de una matriz 3×3:


   M =
   \begin{pmatrix}
      a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
      a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
      a_{31} & a_{32} & a_{33}
   \end{pmatrix}

Para calcular el determinante por los adjuntos de la primera fila:


   \det(M) =
   \begin{vmatrix}
      a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
      a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
      a_{31} & a_{32} & a_{33}
   \end{vmatrix}
   =
   a_{11}
   \begin{vmatrix}
      a_{22} & a_{23} \\
      a_{32} & a_{33}
   \end{vmatrix}
   - a_{12}
   \begin{vmatrix}
      a_{21} & a_{23} \\
      a_{31} & a_{33}
   \end{vmatrix}
   + a_{13}
   \begin{vmatrix}
      a_{21} & a_{22} \\
      a_{31} & a_{32}
   \end{vmatrix}

Desarrollando los determinantes 2*2, tendremos:


   \det(M) =
   \begin{vmatrix}
      a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
      a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
      a_{31} & a_{32} & a_{33}
   \end{vmatrix}
   =
   a_{11} (a_{22} a_{33} - a_{23} a_{32}) -
   a_{12} (a_{21} a_{33} - a_{23} a_{31}) +
   a_{13} (a_{21} a_{32} - a_{22} a_{31})

Eliminando los paréntesis, tenemos:


   \det(M) =
   \begin{vmatrix}
      a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
      a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
      a_{31} & a_{32} & a_{33}
   \end{vmatrix}
   =
   a_{11} a_{22} a_{33} -
   a_{11} a_{23} a_{32} -
   a_{12} a_{21} a_{33} +
   a_{12} a_{23} a_{31} +
   a_{13} a_{21} a_{32} -
   a_{13} a_{22} a_{31}

Que podemos ordenar, para presentarlo en la forma usual de la Regla de Sarrus:


   \det(M) =
   \begin{vmatrix}
      a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
      a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
      a_{31} & a_{32} & a_{33}
   \end{vmatrix}
   =
   a_{11} a_{22} a_{33} +
   a_{12} a_{23} a_{31} +
   a_{13} a_{21} a_{32} -
   a_{11} a_{23} a_{32} -
   a_{12} a_{21} a_{33} -
   a_{13} a_{22} a_{31}

Producto vectorial[editar]

Un caso concreto de la aplicación del Teorema de Laplace es el Producto vectorial, partiendo de dos vectores u y v:


   \vec{u} = u_x \mathbf i + u_y \mathbf j + u_z \mathbf k

   \vec{v} = v_x \mathbf i + v_y \mathbf j + v_z \mathbf k

el producto vectorial de ambos es otro vector:


  \vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}

Que se calcula con el determinante:


   \vec{w} =
   \vec{u} \times \vec{v} =
   \begin{vmatrix}
      \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\
      u_x       & u_y       & u_z       \\
      v_x       & v_y       & v_z       \\
   \end{vmatrix}

Desarrollado por el Teorema de Laplace:


   \vec{w} =
   \vec{u} \times \vec{v} =
   \begin{vmatrix}
      \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\
      u_x       & u_y       & u_z       \\
      v_x       & v_y       & v_z       \\
   \end{vmatrix}
   =
   \mathbf i \;
   \begin{vmatrix}
      u_y & u_z \\
      v_y & v_z
   \end{vmatrix}
   - \mathbf j \;
   \begin{vmatrix}
      u_x & u_z \\
      v_x & v_z
   \end{vmatrix}
   + \mathbf k \;
   \begin{vmatrix}
      u_x & u_y \\
      v_x & v_y
   \end{vmatrix}