Recta tangente

Diferentes rectas secantes y una tangente a una curva.

Una recta tangente a una curva en un punto de ella, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión 1, $\mathbb {R} ^{1}$ .

Definición

Sea $\scriptstyle {\mathcal {C}}$ una curva, y $\scriptstyle A$ un punto regular de esta, es decir, un punto no anguloso donde la curva es diferenciable, y por tanto en $\scriptstyle A$ la curva no cambia repentinamente de dirección. La tangente a $\scriptstyle {\mathcal {C}}$ en $\scriptstyle A$ es la recta $\scriptstyle T_{A}$ que pasa por $\scriptstyle A$ y que tiene la misma dirección que $\scriptstyle {\mathcal {C}}$ alrededor de $\scriptstyle A$ .

La tangente es la posición límite de la recta secante ( $\scriptstyle {\overline {AM}}$ ) (el segmento $\scriptstyle {\overline {AM}}$ se llama cuerda de la curva), cuando $\scriptstyle M$ es un punto de $\scriptstyle {\mathcal {C}}$ que se aproxima indefinidamente al punto $\scriptstyle A$ ( $\scriptstyle M$ se desplaza sucesivamente por $\scriptstyle M_{1},M_{2},M_{3},\dots$

Si $\scriptstyle {\mathcal {C}}$ es punto de una función f (no es el caso en el gráfico precedente), entonces la recta $\scriptstyle {\overline {AM}}$ tendrá como coeficiente director (o pendiente):

${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

Donde $\scriptstyle (a,f(a))$ son las coordenadas del punto $\scriptstyle A$ y $\scriptstyle (x,f(x))$ las del punto $\scriptstyle M$ . Por lo tanto, la pendiente de la tangente T_A será:

$\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

Es, por definición, f '(a), la derivada de f en a.

La ecuación de la tangente es $\scriptstyle T_{A}$ :

$y=f'(a)\cdot (x-a)+f(a)$

La recta ortogonal a la tangente $\scriptstyle {\overline {AM}}$ que pasa por el punto $\scriptstyle (a,f(a))$ se denomina recta normal y su pendiente, en un sistema de coordenadas ortonormales, es dada por ${\frac {-1}{f'(a)}}$ . Siendo su ecuación: