Proyección de Mercator

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Mapa de Mercator de 1569.
Comparación, en una proyección Mercator del Atlántico Norte, del rumbo loxodrómico (según puntos cardinales, línea recta en el mapa) frente al ortodrómico (según círculo máximo terrestre o distancia más corta, curva en el mapa)

La proyección de Mercator es un tipo de proyección cartográfica cilíndrica, ideada por Gerardus Mercator en 1569, para elaborar mapas de la superficie terrestre. Ha sido muy utilizada desde el siglo XVIII para cartas náuticas porque permitía trazar fácilmente las rutas de rumbo constante o loxodrómicas como líneas rectas.

Mercator, mediante proyección, pretende representar la superficie esférica terrestre sobre una superficie cilíndrica, tangente al ecuador, que al desplegarse genera un mapa terrestre plano.

Es un modelo idealizado que trata a la Tierra como un globo hinchable que se introduce en un cilindro y que empieza a «inflarse» ocupando el volumen del cilindro, imprimiendo el mapa en su cara exterior. Este cilindro cortado longitudinalmente y desplegado sería parecido al mapa con la proyección de Mercator.

La proyección Mercator no conserva las relaciones entre áreas para valores distintos de latitud. Por ello los mapamundis realizados según esta proyección exageran la superficie aparente de las tierras situadas cerca de los polos norte y sur.

Matemática de la proyección[editar]

Relación entre la posición vertical en el mapa (horizontal en el gráfico) y latitud (vertical en el gráfico).

Las siguientes ecuaciones determinan las coordenadas (x,y) de un punto en el mapa en proyección Mercator a partir de su latitud φ y longitud λ (siendo λ0 la longitud central del mapa):

\begin{align}
x &= \lambda - \lambda_{0} \\
y &= \ln{\left[ \tan{\left( \frac{\pi}{4} + \frac{\phi}{2} \right)} \right]} \\
&= \frac{1}{2} \ln{\left( \frac{1 + \mathrm{sen} \, \phi}{1 - \mathrm{sen} \, \phi} \right)} \\
&= \mathrm{senh}^{-1}{(\tan{\phi})} \\
&= \tanh^{-1}{(\mathrm{sen} \, \phi)} \\
&= \ln{(\tan{\phi} + \sec{\phi} )}
\end{align}

Esta es la inversa de la función de Gudermann:


\begin{align}
\phi    & = 2\tan^{-1}(e^y) - \frac{\pi}{2} \\
        & = \tan^{-1}(\sinh(y)) \\
\lambda & = x $ \lambda_0 \\
\end{align}

La escala es proporcional a la secante de la latitud φ, haciéndose extremadamente grande cerca de los polos. En el polo mismo φ = 90° o -90°. Como se deduce de las fórmulas, el valor para y en los polos es +/- infinito.

Derivación de la proyección[editar]

Asumiendo que la Tierra tiene forma esférica, (en realidad se parece más a un elipsoide levemente achatado en los polos y con otras leves deformaciones, pero para mapas de pequeña escala la diferencia es irrelevante), se busca transformar del sistema longitud-latitud (λ,φ) al sistema cartesiano (x,y) que es "un cilindro tangente al ecuador" (p.e. x=λ) y conforme, tal que:

La proyección Mercator es una proyección cilíndrica.

\frac{\partial x}{\partial \lambda} = \cos(\phi) \frac{\partial y}{\partial \phi}

\frac{\partial y}{\partial \lambda} = -\cos(\phi) \frac{\partial x}{\partial \phi}

De x = λ se tiene:

\frac{\partial x}{\partial \lambda} = 1

\frac{\partial x}{\partial \phi} = 0

resultando

1 = \cos(\phi) \frac{\partial y}{\partial \phi}

0 = \frac{\partial y}{\partial \lambda}

Dado que y es función sólo de φ con y'=\sec\phi de la cual una tabla de integrales nos da

y = \ln[ \sec(\phi) + \tan(\phi) ] + C\,.

Es conveniente asignar φ = 0 a y = 0, con lo cual la constante C se anula, C = 0.

Controversia[editar]

Indicatriz de Tissot en proyección Mercator.
Indicatriz de Tissot en proyección sinusoidal.

Como en toda proyección cartográfica, cuando se intenta ajustar una superficie curva en una superficie plana, la forma del mapa es una distorsión de la verdadera configuración de la superficie terrestre. La proyección de Mercator va exagerando el tamaño de las tierras a medida que nos alejamos de la línea del ecuador. Por ello, en los mapamundis Mercator:

  • Groenlandia aparece aproximadamente del tamaño de África, cuando en realidad el área de África es aproximadamente 14 veces la de Groenlandia.
  • Alaska aparece similar en tamaño a Brasil, cuando el área de Brasil es casi 5 veces la de Alaska.

Aunque la proyección de Mercator es todavía muy usada en navegación, los críticos argumentan que no es adecuada para representar el mundo completo debido a la distorsión de las áreas. El mismo Mercator usó una proyección equivalente (es decir, que conserva la proporción entre áreas) en sus mapas regionales no destinados a la navegación. Como resultado de estas críticas, los atlas modernos ya no usan la proyección de Mercator para mapamundis o regiones distantes del ecuador, prefiriendo otras proyecciones cilíndricas, o proyecciones equivalentes (equiáreas). La proyección de Mercator, sin embargo, es usada todavía para regiones cercanas al ecuador.

Arno Peters provocó controversia cuando propuso la proyección conocida como proyección de Gall-Peters, una leve modificación de la cilíndrica equivalente de Lambert, como la alternativa a la de Mercator. Una resolución de 1989 de siete grupos geográficos norteamericanos desechó el uso de todos los mapamundis de coordenadas rectangulares (cilíndricas), incluyendo la Mercator y la Gall-Peters.[1]

Uso actual en la web[editar]

Las aplicaciones web de cartografía como Google Maps, OpenStreetMap o Bing Maps utilizan actualmente la proyección de Mercator. Concretamente emplean una variante que supone que la superficie del planeta es esférica en vez de la forma exacta, elipsoidal, para simplificar los cálculos. Los desarrolladores de Bing Maps han justificado la elección de la proyección de Mercator por dos motivos. En primer lugar, como en toda proyección cilíndrica, en cualquier punto del planeta la dirección norte-sur aparece siempre vertical y la este-oeste horizontal. En segundo lugar, por ser una proyección conforme, las formas de los edificios no se distorsionan, evitando que un edificio cuadrado pueda aparecer rectangular como ocurre en otras proyecciones. Estas dos virtudes han compensado, a ojos de los autores de estas aplicaciones, las significativas distorsiones de escala que introduce la proyección de Mercator, sobre todo en las regiones cerca de los polos.[2]

Google Satellite Maps, por otro lado, usó una proyección plate carrée hasta julio de 2005.

En los mapas en Google Maps la máxima latitud representada es de +/- 85.0511287798066 grados.

Véase también[editar]

Notas[editar]

  1. American Cartographer. 1989. 16(3): 222-223.
  2. Joe Schwartz. «Bing Maps Tile System» (en inglés). Consultado el 6 de marzo de 2014.

Enlaces externos[editar]