Elipsoide

Un elipsoide es una superficie curva cerrada cuyas tres secciones ortogonales principales son elípticas, es decir, son originadas por planos que contienen dos ejes cartesianos.

En matemáticas, es una cuádrica análoga a la elipse, pero en tres dimensiones.

Un elipsoide se obtiene al «deformar» una esfera, mediante una transformación homológica, en la dirección de sus tres diámetros ortogonales.

Ecuación cartesiana de un elipsoide

La ecuación de un elipsoide con centro en el origen de coordenadas y ejes coincidentes con los cartesianos, es:

${x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2}=1$

donde a, b y c son las longitudes de los semiejes del elipsoide respecto de los ejes x, y , z; son números reales positivos y determinan la forma del elipsoide. Si dos de estos semiejes son iguales, el elipsoide es un esferoide; si los tres son iguales, se trata de una esfera.

Superficie

La superficie de un elipsoide está dada por la siguiente fórmula:

$S = 2\pi\left(c^2+b\sqrt{a^2-c^2}E(\alpha,m)+\frac{bc^2}{\sqrt{a^2-c^2}}F(\alpha,m)\right),\,\!$

donde

$\alpha=\begin{cases} \arccos\left(\frac{c}{a}\right)\;\textrm{achatado\;o\;escaleno}\\ \arccos\left(\frac{a}{c}\right)\;\textrm{alargado} \end{cases},\!$

es su excentricidad angular, $m=\frac{b^2-c^2}{b^2\sin^2(\alpha)}\,\!$, y $F(\alpha,m)\,\!$, $E(\alpha,m)\,\!$ son las integrales elípticas de primera y segunda especie.

Una ecuación aproximada de su superficie es:

$S\;\approx 4\pi\!\left(\frac{ a^p b^p+a^p c^p+b^p c^p }{3}\right)^{1/p}\,\!$

donde p ≈ 1,6075. Con esta expresión se obtiene un error máximo de ±1,061%, en función de los valores de a, b y c. El valor p = 8/5 = 1,6 es óptimo para elipsoides cuasi esféricos, con un error relativo máximo de 1,178%.

Volumen

El volumen de un elipsoide está dado por la ecuación:

$V=\;\frac{4}{3}\pi a\ b\ c\,\!$

Otras características

La intersección de un elipsoide con un plano suele ser una elipse. También puede ser una circunferencia.

Se puede definir un elipsoide en espacios de más de tres dimensiones.

Véase también

• Cuádrica
• Esferoide
• Esfera
• Elipse
• Anexo:Ecuaciones de figuras geométricas

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. Ellipsoid, en MathWorld.