Número de Fermat

Un número de Fermat, nombrado en honor a Pierre de Fermat, quien fue el que formuló e investigó estos números, es un número natural de la forma:

$F_{n}=2^{2^{n}}+1$

donde n es natural. De particular interés son los números primos de Fermat.

Pierre de Fermat conjeturó que todos los números naturales de la forma

$F_{n}=2^{2^{n}}+1$

con n natural eran números primos (después de todo, los cinco primeros términos, 3 (n=0), 5 (n=1), 17 (n=2), 257 (n=3) y 65537 (n=4) lo son), pero Leonhard Euler probó que no era así en 1732. En efecto, al tomar n=5 se obtiene un número compuesto:

$F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=641\cdot 6700417\;$

4294967297 es el número más pequeño que, siendo número de Fermat, no es primo.

Actualmente, sólo se conocen cinco números primos de Fermat, que son los que ya se conocían en tiempos del propio Fermat, y, a fecha de enero de 2009 sólo se conoce la factorización completa de los doce primeros números de Fermat (desde n=0 hasta n=11). Estas son algunas de las conjeturas que existen hoy día sobre estos números:

1. ¿Sólo hay cinco números primos de Fermat (3, 5, 17, 257 y 65537)?
2. ¿Existen infinitos primos de Fermat?

Algunos números de Fermat y su factorización

Los nueve primeros números de Fermat son los siguientes:

F0	=	21	+	1	=	3
F1	=	22	+	1	=	5
F2	=	24	+	1	=	17
F3	=	28	+	1	=	257
F4	=	216	+	1	=	65.537
F5	=	232	+	1	=	4.294.967.297
					=	641 × 6.700.417
F6	=	264	+	1	=	18.446.744.073.709.551.617
					=	274.177 × 67.280.421.310.721
F7	=	2128	+	1	=	340.282.366.920.938.463.463.374.607.431.768.211.457
					=	59.649.589.127.497.217 × 5.704.689.200.685.129.054.721
F8	=	2256	+	1	=	115.792.089.237.316.195.423.570.985.008.687.907.853.269.984.665.640.564.039.457.584.007.913.129.639.937
					=	1.238.926.361.552.897 × 93.461.639.715.357.977.769.163.558.199.606.896.584.051.237.541.638.188.580.280.321

Propiedades de los números de Fermat

1. Un número de Fermat es igual al producto de todos los anteriores más 2. Esto se puede demostrar por inducción como sigue:
   • Si n=1, es verdad: F₁ = F₀ + 2 (5 = 3 + 2).
   • Si se cumple para k igual a n-1, se cumple para n:

$F_{0}\cdot F_{1}\cdot \ldots \cdot F_{n-2}\cdot F_{n-1}+2=\left(F_{n-1}-2\right)\cdot F_{n-1}+2\,\!$

$=\left(2^{2^{n-1}}+1-2\right)\cdot \left(2^{2^{n-1}}+1\right)+2\,\!$

$=\left(2^{2^{n-1}}-1\right)\cdot \left(2^{2^{n-1}}+1\right)+2\,\!$

$=\left(2^{2^{n-1}}\right)^{2}-1+2=2^{2^{n}}+1=F_{n}\,\!$

1. Corolario de la propiedad anterior: Ningún número de Fermat puede ser la suma de dos números primos. Como todos los números de Fermat son impares, uno de los sumandos debe ser 2. Entonces, el otro tendrá que ser, o bien 1 (en el caso de F₀ = 3) o bien el producto de todos los anteriores... pero precisamente al ser un producto de números naturales no puede ser primo.
2. Dos números de Fermat distintos siempre son primos entre sí (es decir, no tienen ningún factor común). Se sabe que F_n = F₀·F₁·...·F_n-1 + 2. Como todos los números de Fermat son impares (y por tanto 2 no puede ser un factor común), se concluye que F_n no es divisible por ninguno de los factores de los anteriores números de Fermat. Un corolario de esto es una demostración de la infinitud de los números primos (ver artículo).
3. Carl Friedrich Gauss demostró que existe una relación entre la construcción de polígonos regulares con regla y compás y los números primos de Fermat: un polígono regular de n lados puede ser construido con regla y compás si y sólo si n es, o bien una potencia de 2, o bien el producto de una potencia de 2 y primos de Fermat distintos entre sí.
4. Todo número compuesto de Fermat $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ se puede descomponer en factores primos de la forma k·2ⁿ⁺² + 1, con k entero positivo.
5. La representación hexadecimal de un número de Fermat mayor es especialmente sencilla: para cada n mayor o igual que 2, F_n = 10...01_hex, donde hay 2^n-2 - 1 ceros.

Véase también

• Número primo de Mersenne
• Número primo de Gauss
• Teorema de Lucas
• Pierre de Fermat
• Regla y compás

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Fermat Number». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Generalized Fermat Prime search
• http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Fermats
• http://www.prothsearch.net/fermat.html (Factorización de los números de Fermat)