Teorema de Lucas

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En teoría de números, el teorema de Lucas dice lo siguiente:

Sean m y n números enteros no negativos, p un número primo y sean

m=m_kp^k+m_{k-1}p^{k-1}+\cdots +m_1p+m_0,

y

n=n_kp^k+n_{k-1}p^{k-1}+\cdots +n_1p+n_0

los desarrollos de m y n, respectivamente, en base p.

Entonces

\binom{m}{n}\equiv\prod_{i=0}^k\binom{m_i}{n_i}\pmod p,

donde \binom{m}{n}=\frac{m!}{n!(m-n)!} denota el coeficiente binomial de m sobre n.

En particular, el coeficiente binomial \binom{m}{n} es divisible por un número primo p tan pronto como al menos uno de los dígitos de n en base p es mayor que el dígito correspondiente de m


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