Números amigos
Dos números amigos son dos números enteros positivos a y b tales que a es la suma de los divisores propios de b, y b es la suma de los divisores propios de a. (la unidad se considera divisor propio, pero no lo es el mismo número).
Un ejemplo es el par de naturales (220, 284), ya que:
- Los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, que suman 284.
- Los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220.
Si un número es amigo de sí mismo (es igual a la suma de sus divisores propios), recibe el nombre de número perfecto.
Historia[editar]
Los pitagóricos observaron una rara relación entre los números 220 y 284: la suma de los divisores de cada uno de ellos, salvo el propio número, es el otro, denominándolos números amigos. Para los pitagóricos los números amigos tenían muchas propiedades místicas.
Alrededor del año 850, Tabit ibn Qurra (826-901) descubrió una fórmula general para la cual se podían hallar números amigos: si
- p = 3 × 2n-1 - 1,
- q = 3 × 2n - 1,
- r = 9 × 22n-1 - 1,
donde n > 1 es entero y p, q, y r son números primos, entonces
- 2npq y 2nr son un par de números amigos.
Esta fórmula genera los pares (220, 284), (1184, 1210), (17.296, 18.416) y (9.363.584, 9.437.056). El par (6232, 6368) también es de números amigos.
En la Edad Media, existió la creencia de que si se daba de comer a dos personas (al mismo tiempo pero no en el mismo lugar) sendos alimentos que contenían una inscripción 220 para uno y de 284 para el otro, entonces se volvían amigos por arte de magia.[cita requerida]
En occidente, durante muchos siglos, la pareja 220 y 284 fueron los únicos amigos conocidos, hasta que en 1636 Fermat descubrió que 17.296 y 18.416 también lo son. En 1638 Descartes, colega y competidor de Fermat, encontró la tercera pareja: 9.363.584 y 9.437.056.
Los números amigos han sido estudiados por Maslama al-Mayriti (muerto en 1007), Abu Mansur Tahir al-Baghdadi (980-1037), Pierre de Fermat (1601-1665), René Descartes (1596-1650), a quien se atribuye a veces la fórmula de Tabit, C. Rudolphus y otros. La fórmula de Tabit fue generalizada por Euler.
