Número doble de Mersenne

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En matemáticas, un número doble de Mersenne es un número de Mersenne de la forma

M_{M_n} = 2^{M_n}-1 = 2^{2^n-1}-1

donde el exponente 2^n-1 es a su vez el número de Mersenne M_n, con n natural.

Números dobles de Mersenne primos[editar]

A menudo se consideran solamente los números dobles de Mersenne que son primos.

Como un número de Mersenne M_p es primo solo si p es primo (puede ver la demostración en el artículo "Número de Mersenne"), se tiene que un número doble de Mersenne M_{M_p} es primo solo si M_p es a su vez un número primo de Mersenne.
Los primeros valores de p para los cuales M_p es primo son p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89. De ellos, se sabe que M_{M_p} es primo para p = 2, 3, 5, 7. Para p = 13, 17, 19, se han hallado factores de forma explícita, con lo que está demostrado que los números dobles de Mersenne correspondientes son compuestos. Por tanto, el candidato más pequeño para ser un número doble de Mersenne primo es M_{M_61}, es decir, 22305843009213693951 − 1. Con aproximadamente 6,94 × 1017 cifras, este número es demasiado grande para cualquier test de primalidad de los que se conocen en la actualidad, aunque se sabe que no tiene ningún factor primo menor que 4 × 1033.[1]

He aquí la lista de los números dobles de Mersenne primos que se conocen en la actualidad:

M_{M_2} = M_3 = 7
M_{M_3} = M_7 = 127
M_{M_5} = M_{31} = 2147483647
M_{M_7} = M_{127} = 170141183460469231731687303715884105727 ((sucesión A077586 en OEIS))

Números de Catalan-Mersenne[editar]

Sea M(p) = M_p. La sucesión definida de forma recursiva como:

2, M(2), M(M(2)), M(M(M(2))), M(M(M(M(2)))), ... ((sucesión A007013 en OEIS))

se conoce como la sucesión de los números de Catalan-Mersenne.[2] Se dice[3] que a Catalan se le ocurrió esta sucesión tras descubrir Lucas en 1876 que M(127)=M(M(M(M(2)))) era primo.

Aunque los cinco primeros términos de la sucesión (hasta M(127)) son primos, no se conoce método alguno que ayude a dilucidar si algún término más lo es también.

Referencias[editar]

  • L. E. Dickson, History of the theory of numbers, Carnegie Institute of Washington, 1919. Reimpreso por Chelsea Publishing, Nueva York, 1971.
  1. Tony Forbes, A search for a factor of MM61. Progress: 9 October 2008.
  2. MathWorld: Catalan-Mersenne Number
  3. Chris Caldwell, Mersenne Primes: History, Theorems and Lists en las Prime Pages.