Número primo de Mersenne
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Se dice que un número M es un número primo de Mersenne si es primo y M+1 es una potencia de 2. Así, 7 es un primo de Mersenne (7 + 1 = 8 = 2³, y 7 es primo), pero 13 no lo es (por no ser 14 una potencia de 2) y 15 tampoco lo es (por no ser un número primo), a pesar de ser 16(15+1) potencia de dos .
Se denominan así en memoria del filósofo del siglo XVII Marin Mersenne quien en su Cognitata Physico-Mathematica realizó una serie de postulados sobre ellos que sólo pudo refinarse tres siglos después. Los ocho primeros números primos de Mersenne son:
3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647.
Los números primos de Mersenne están íntimamente relacionados con los números perfectos, en efecto Euclides había demostrado siglos antes que si M es un número primo de Mersenne (obviamente no se llamaban así en su época), entonces M·(M+1)/2 es un número perfecto. Euler demostró en el siglo XVIII que todos los números perfectos pares son de la forma M·(M+1)/2. No se conocen en la actualidad números perfectos impares, y se sospecha que no exista ninguno.
No se sabe si existen un número infinito de primos de Mersenne.
La siguiente tabla muestra los números primos de Mersenne conocidos :
| # | n | Mn | Número de dígitos Mn | Fecha de descubrimiento | Descubridor |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 1 | antigüedad | desconocido |
| 2 | 3 | 7 | 1 | antigüedad | desconocido |
| 3 | 5 | 31 | 2 | antigüedad | desconocido |
| 4 | 7 | 127 | 3 | antigüedad | desconocido |
| 5 | 13 | 8191 | 4 | 1456 | anónimo |
| 6 | 17 | 131071 | 6 | 1588 | Cataldi |
| 7 | 19 | 524287 | 6 | 1588 | Cataldi |
| 8 | 31 | 2147483647 | 10 | 1772 | Euler |
| 9 | 61 | 2305843009213693951 | 19 | 1883 | Pervushin |
| 10 | 89 | 618970019…449562111 | 27 | 1911 | Powers |
| 11 | 107 | 162259276…010288127 | 33 | 1914 | Powers |
| 12 | 127 | 170141183…884105727 | 39 | 1876 | Lucas |
| 13 | 521 | 686479766…115057151 | 157 | 30 de enero de 1952 | Robinson |
| 14 | 607 | 531137992…031728127 | 183 | 30 de febrero de 1952 | Robinson |
| 15 | 1,279 | 104079321…168729087 | 386 | 25 de junio de 1952 | Robinson |
| 16 | 2,203 | 147597991…697771007 | 664 | 7 de octubre de 1952 | Robinson |
| 17 | 2,281 | 446087557…132836351 | 687 | 9 de octubre de 1952 | Robinson |
| 18 | 3,217 | 259117086…909315071 | 969 | 8 de septiembre de 1957 | Riesel |
| 19 | 4,253 | 190797007…350484991 | 1,281 | 3 de noviembre de 1961 | Hurwitz |
| 20 | 4,423 | 285542542…608580607 | 1,332 | 3 de noviembre de 1961 | Hurwitz |
| 21 | 9,689 | 478220278…225754111 | 2,917 | 11 de mayo de 1963 | Gillies |
| 22 | 9,941 | 346088282…789463551 | 2,993 | 16 de mayo de 1963 | Gillies |
| 23 | 11,213 | 281411201…696392191 | 3,376 | 2 de junio de 1963 | Gillies |
| 24 | 19,937 | 431542479…968041471 | 6,002 | 4 de marzo de 1971 | Tuckerman |
| 25 | 21,701 | 448679166…511882751 | 6,533 | 30 de octubre de 1978 | Noll & Nickel |
| 26 | 23,209 | 402874115…779264511 | 6,987 | 9 de febrero de 1979 | Noll |
| 27 | 44,497 | 854509824…011228671 | 13,395 | 8 de abril de 1979 | Nelson & Slowinski |
| 28 | 86,243 | 536927995…433438207 | 25,962 | 25 de septiembre de 1982 | Slowinski |
| 29 | 110,503 | 521928313…465515007 | 33,265 | 28 de enero de 1988 | Colquitt & Welsh |
| 30 | 132,049 | 512740276…730061311 | 39,751 | 20 de septiembre de 1983 | Slowinski |
| 31 | 216,091 | 746093103…815528447 | 65,050 | 6 de septiembre de 1985 | Slowinski |
| 32 | 756,839 | 174135906…544677887 | 227,832 | 19 de febrero de 1992 | Slowinski & Gage |
| 33 | 859,433 | 129498125…500142591 | 258,716 | 10 de enero de 1994 | Slowinski & Gage |
| 34 | 1,257,787 | 412245773…089366527 | 378,632 | 3 de septiembre de 1996 | Slowinski & Gage |
| 35 | 1,398,269 | 814717564…451315711 | 420,921 | 13 de noviembre de 1996 | GIMPS / Joel Armengaud |
| 36 | 2,976,221 | 623340076…729201151 | 895,932 | 24 de agosto de 1997 | GIMPS / Gordon Spence |
| 37 | 3,021,377 | 127411683…024694271 | 909,526 | 27 de enero de 1998 | GIMPS / Roland Clarkson |
| 38 | 6,972,593 | 437075744…924193791 | 2,098,960 | 1 de junio de 1999 | GIMPS / Nayan Hajratwala |
| 39 | 13,466,917 | 924947738…256259071 | 4,053,946 | 14 de noviembre de 2001 | GIMPS / Michael Cameron |
| 40* | 20,996,011 | 125976895…855682047 | 6,320,430 | 17 de noviembre de 2003 | GIMPS / Michael Shafer |
| 41* | 24,036,583 | 299410429…733969407 | 7,235,733 | 15 de mayo de 2004 | GIMPS / Josh Findley |
| 42* | 25,964,951 | 122164630…577077247 | 7,816,230 | 18 de febrero de 2005 | GIMPS / Martin Nowak |
| 43* | 30,402,457 | 315416475…652943871 | 9,152,052 | 15 de diciembre de 2005 | GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone |
| 44* | 32,582,657 | 124575026…053967871 | 9,808,358 | 4 de septiembre de 2006 | GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone |
*No se conoce si existen más números primos de Mersenne entre el 39 (M13,466,917) y el 44 (M32,582,657) por lo tanto, esta tabla es provisional.
