Se recurre a la definición de producto matricial, sean A = (aij)ij, B = (bij)ij y A B = (cij)ij entonces por definición
por trasposición queda
que coincide con la definición de producto para BtAt∎
Si es una matriz cuadrada cuyas entradas son números reales, entonces
es semidefinida positiva.
Demostración
Sean A una matriz de tamaño m × n y x un vector columna de n componentes perteneciente a un espacio normado, con denotando la norma euclídea.
de las propiedades de la norma se deduce xtAtAx ≥ 0 para todo x, luego AtA es semidefinida positiva. ∎
Definiciones asociadas
Una matriz cuadrada es simétrica si coincide con su traspuesta:
Una matriz cuadrada es antisimétrica si su traspuesta coincide con su inverso aditivo.
Si los elementos de la matriz son números complejos y su traspuesta coincide con su conjugada, se dice que la matriz es hermítica.
y antihermítica si
Vale la pena observar que si una matriz es hermítica (matriz simétrica en el caso de matriz real) entonces es diagonalizable y sus autovalores son reales. (El recíproco es falso).
Véase también
La definición de matriz traspuesta se usa en la definición de Matriz ortogonal.
Escítala : Instrumento antiguo para cifrar mensajes basado en la trasposición de matrices.
Referencias
↑García Merayo, Félix (1995). «7.5». Lecciones prácticas de cálculo numérico (1 edición). Universidad Pontifica Comillas. p. 96. ISBN9788487840685.
↑Kurmyshev, Evguenii (2003). «2.2.3». Fundamentos de métodos matemáticos para física e ingeniería (1 edición). LIMUSA SA. p. 35. ISBN9789681863661.