Matriz hessiana

En Matemática, la matriz hessiana de una función f de n variables, es la matriz cuadrada de n × n, de las segundas derivadas parciales.

Definición

Dada una función real f de n variables reales:

$\begin{align} & f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R} \\ & \,\,\,\,\,\,\,x\mapsto f(x) \\ \end{align}$

Si todas las segundas derivadas parciales de f existen, se define la matriz hessiana de f como: $H_{f}(\mathbf{x})$, donde

$H_{f}(\mathbf{x})_{i,j} = \frac{\partial^2\,f(\mathbf{x})}{\partial x_i\, \partial x_j}$.

tomando la siguiente forma

$H(f) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix}$

Además, se tiene que si :$f \colon A \subseteq \Bbb{R}^n \to \Bbb{R} \,$ con A un conjunto abierto y f clase $\mathcal C^2$, entonces la matriz hessiana esta bien definida, y en virtud del teorema de Clairaut (ó teorema de Schwartz), es una matriz simétrica.

Esta matriz debe su nombre al matemático alemán Ludwig Otto Hesse y fue introducido por James Joseph Sylvester.

Aplicación de la matriz hessiana

Concavidad/Convexidad

Sea $A \subseteq \mathbb{R}^n$ un conjunto abierto y $f \colon A \to \mathbb{R}$ una función con derivadas segundas continuas:

1. $f \,$ es cóncava si y solo si, $\forall a \in A$, la matriz hessiana $H_f(a) \,$ es semidefinida negativa.
2. Si $\forall a \in A$ la matriz hessiana $H_f(a) \,$ es definida negativa, entonces $f \,$ es estrictamente cóncava.
   • Si $f \,$ es una función cóncava, entonces cualquier punto en que todas las derivadas parciales son cero, es un máximo local.
3. $f \,$ es convexa si y solo si, $\forall a \in A$, la matriz hessiana $H_f(a) \,$ es semidefinida positiva.
4. Si $\forall a \in A$ la matriz hessiana $H_f(a) \,$ es definida positiva, entonces f es estrictamente convexa.
   • Si $f \,$ es una función convexa, entonces cualquier punto en que todas las derivadas parciales son cero, es un mínimo local.

Método para determinar el carácter de los puntos críticos

Se verá a continuación cómo hallar los puntos críticos (máximos, mínimos y puntos de inflexión -o silla o de ensilladura) de una función f de múltiples variables.

1. Se igualan las derivadas parciales primeras a cero.
2. Se resuelven las ecuaciones anteriores y se obtienen las coordenadas de los puntos críticos.
3. Se construye la matriz hessiana (derivadas segundas parciales).
4. Dependiendo del tipo de matriz resultante de evaluar la matriz Hessiana en los diferentes puntos críticos, estos puntos serán:

Si |H| > 0 hay extremo. En ese caso si h11 = fxx > 0 hay un mínimo relativo. En cambio si h11 = fxx < 0 hay un máximo relativo.

Si |H| = 0 el criterio no decide y debemos buscar otra forma de analizar el punto crítico.

Si |H| < 0 entonces hay un punto silla y por lo tanto no es extremo.

Matriz hessiana orlada

La matriz hessiana orlada es una variante de la matriz hessiana utilizada en problemas de optimización restringida . El determinante de sus principales menores se utiliza como criterio para determinar si un punto crítico de una función es un mínimo, máximo, punto silla o no determinado (extremos condicionados).

Véase también

• Matriz
• Jacobiano

Enlaces externos

• Discriminante o Hessiano (Matriz Hessiana) para Encontrar Máximos, Mínimos y Puntos de Silla en Funciones de Varias Variables