Método neusis

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Construcción neusis.

Neusis es un método de construcción geométrica que fue utilizado en la antigüedad por matemáticos griegos.

Construcción geométrica[editar]

La construcción neusis (del griego νεῦσις de νεύειν neuein "dirección de inclinación"; plural: νεύσεις neuseis) consiste en colocar un elemento línea de una longitud dada (a) entre dos curvas dadas (l y m), de manera que el elemento línea, o su extensión, pasa a través de un punto dado P. Una de las terminaciones del elemento línea tiene que apoyarse sobre l, la otra terminación sobre m, mientras que el elemento línea es "inclinado" en dirección P.

Una construcción neusis se debe realizar mediante el uso de la 'Regla Neusis': una regla que puede hacer rotaciones alrededor del punto P (esto puede ser hecho poniendo una chincheta en el punto P y después presionando la regla contra la chincheta). En la figura una de las terminaciones de la regla está marcada con un ojo amarillo con una mira: este es el origen de la división de la escala de la regla. Una segunda marca en la regla (el ojo azul) indica la distancia a al origen. El ojo amarillo se mueve a lo largo de la curva l, hasta que el ojo azul coincide con la curva m. La posición del elemento línea de esta forma encontrado se muestra en la figura como una barra azul oscura.

El punto P es denominado el polo de la neusis, la curva l es la directriz o la curva de guía, y la curva m es la curva agarre. La longitud a es denominada el diastema (διάστημα; griego para "distancia").

Trisección neusis de un ángulo >135° para encontrar φ=θ/3, utilizando sólo la longitud de la regla. El radio del arco es igual a la longitud de la regla. Para ángulos θ<135° se aplica la misma construcción, pero con P extendido más allá de AB.

Usos de neusis[editar]

Neuseis ha sido importante porque a veces provee una forma de resolver problemas geométricos que no se pueden solucionar a través de construcciones con regla y compás únicamente. Ejemplos son la trisección de cualquier ángulo en tres partes iguales, o la construcción de un heptágono regular. Matemáticos tales como Arquímedes de Siracusa (287–212 BC) utilizaban neuseis libremente. Sin embargo, la técnica gradualmente cayó en desuso.

Cae en desuso[editar]

Thomas Little Heath, el historiador de matemáticos, sugirió que de los matemáticos griegos Oenopides (440 AC) fue el primero en poner las construcciones con regla y compás por encima de neuseis. El principio de evitar neuseis siempre que fuera posible, pudo ser difundido por Hipócrates de Quíos (430 AC), originario de la misma isla que Oenopides, y quien fue—por lo que sabemos—el primero en escribir libros sobre geometría sistemática y ordenada. Cien años antes que él Euclides también evitó neuseis en su muy influyente libro, Los Elementos.

El siguiente ataque a neusis vino cuando, desde el siglo IV aC, el idealismo de Platón ganó terreno. Bajo su influencia fue desarrollada una jerarquía de tres tipos de construcciones geométricas. Descendiendo desde lo "abstracto y noble" hasta lo "mecánico y terrenal", las tres clases eran:

  1. Construcciones sólo con líneas rectas y círculos (regla y compás);
  2. Construcciones que además utilizaban las secciones cónicas (elipses, parábolas, hipérbolas);
  3. Construcciones que necesitan otras técnicas, como por ejemplo neuseis.

Al final el uso de neusis fue tomado como aceptable solamente cuando las otras dos categorías de construcción más elevadas no ofrecían una solución. Neusis se convirtió en un tipo de recurso de última necesidad que se utilizaba cuando todos los demás métodos, más respetables, habían fallado. Utilizar neusis cuando los otros métodos podrían haber sido utilizados fue marcado por el matemático griego Pappus de Alejandría (325 dC) como un "error a considerar".

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  • R. Boeker, 'Neusis', in: Paulys Realencyclopädie der Classischen Altertumswissenschaft, G. Wissowa red. (1894–), Supplement 9 (1962) 415–461.–In German. La revisión más comprensiva; sin embargo, el autor tiene opiniones curiosas a veces.
  • T. L. Heath, A history of Greek Mathematics (2 volumes; Oxford 1921).
  • H. G. Zeuthen, Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum [= The Theory of Conic Sections in Antiquity] (Copenhagen 1886; reprinted Hildesheim 1966).

Enlaces externos[editar]