Rosa polar

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En el experimento de Foucault, el péndulo describe una rosa polar.

En matemáticas, rosa polar es el nombre que recibe cualquier miembro de una familia de curvas de ecuación r(\theta) = \cos (k\theta)\, por asemejarse a una flor de pétalos.

Esta familia, también conocida como rhodoneas (del griego rhodon, rosa), fue estudiada por el matemático Luigi Guido Grandi, en torno al 1725, en su libro Flores Geometrici.[1]

Como casos particulares, la rosa de tres pétalos recibe también el nombre de trifolium regular y la de cuatro, el de quadrifolium. Para k=1/2 se obtiene la curva conocida como folium de Durero.

Ecuación[editar]

Rosas definidas por r=\sin k \theta, para valores racionales de k=n/d. La última fila corresponde a valores enteros de k.

Su expresión general en coordenadas polares es:

r(\theta) = a \cos (k\theta + \phi_0)\,

Donde a representa la longitud de los pétalos y \phi_0 sólo tiene un efecto de realizar una rotación global sobre la figura. Salvo similaridad, todas estas curvas pueden reducirse a la familia:

r(\theta) = \cos (k\theta)\,[2]

Aquí la forma queda determinada por el valor del parámetro k:

  • Si k es un número entero, estas ecuaciones producirán k pétalos si k es impar, o 2k pétalos si k es par.
  • Si k es racional, entonces la curva es cerrada y de longitud finita.
  • Si k es irracional, su imagen formará un conjunto denso en el disco de radio a.

La expresión en coordenadas cartesianas de la rosa de cuatro pétalos es  (x^2+y^2)^3=4a^2x^2y^2 y para la rosa de tres pétalos (x^2+y^2)^2=ax(x^2-3y^2).

Área[editar]

Rosa polar de ecuación  \, r\, (θ) = 2 sin  4θ. Su área es, sorprendentemente, la mitad de la del círculo en que está inscrita.

El área de una rosa de ecuación r=a \cos (k\theta)\, con k natural es igual a:


    \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}(a\cos (k\theta))^2\,d\theta = \frac {a^2}{2} \left(\pi + \frac{\sin(4k\pi)}{4k}\right) = \frac{\pi a^2}{2}

si k es par, y


    \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}(a\cos (k\theta))^2\,d\theta = \frac {a^2}{2} \left(\frac{\pi}{2} + \frac{\sin(2k\pi)}{4k}\right) = \frac{\pi a^2}{4}

si k es impar.

Véase también[editar]

Notas y referencias[editar]

  1. Grandi, Guido. Flores geometrici ex Rhodonearum, et cloeliarum Curvarum descriptione resultantes. Florentiae, Typ. Regiae Celsitudinis, 1728.
  2. la expresión \,r=\sin(k\theta) y \,r = \cos(k\theta) representa la misma curva salvo una rotación de π/2k radianes.

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