Hipocicloide

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La curva roja es una hipocicloide dibujada al girar la circunferencia negra pequeña por el interior de la circunferencia azul grande, obteniendo en este caso una deltoide).

Una curva hipocicloide es la trayectoria descrita por un punto situado sobre una circunferencia generatriz que rueda sin deslizar por el interior de otra circunferencia directriz, sin deslizamiento. Es un tipo de ruleta cicloidal.

La curva hipocicloide es comparable a la cicloide, donde la circunferencia generatriz rueda sobre una línea directriz (o circunferencia de radio infinito).

Ecuación paramétrica[editar]

Las ecuaciones paramétricas de una curva hipocicloide generada por un punto de una circunferencia de radio  r_2 que rueda dentro de una circunferencia de radio  r_1 , son:

x=(r_1-r_2)\cos \alpha\ + r_2\ \sin \gamma               (1)
y=(r_1-r_2)\sin \alpha\ - r_2\ \cos \gamma               (2)

Donde  \alpha es el ángulo con el que varía  r_1 y el eje  x , y  \gamma es el ángulo que varía entre la línea imaginada de proyección sobre el eje  x del centro del círculo de radio  r_2 y dicho radio.

Pero,

\displaystyle \beta + \gamma + \frac{\pi}{2} - \alpha = \pi
\displaystyle \gamma = \frac{\pi}{2}+\alpha-\beta               (3)

donde  \beta es un ángulo que varía entre  r_2 y el segmento de  r_1 donde se genera un vértice con el punto centro del círculo de circunferencia generatriz. Además, como la circunferencia rueda sin deslizamiento, los arcos  l_1 y  l_2 son iguales, es decir: r_1\ \alpha =l_1=l_2=r_2\ \beta. De aquí se tiene que  \displaystyle \beta = \frac {r_1}{r_2} \alpha

Sustituyendo  \beta en la ecuación (3), y esta última en (1) y (2) se obtienen las siguientes ecuaciones paramétricas de la hipocicloide:

x=(r_1-r_2)\cos \alpha\ +r_2\ \cos \left[\alpha \left(1-\frac {r_1}{r_2} \right)\right]

y=(r_1-r_2)\sin \alpha\ +r_2\ \sin \left[\alpha \left(1-\frac {r_1}{r_2} \right)\right]

Casos particulares[editar]

Cuando \frac {r_1}{r_2}=k es un número racional, es decir, \displaystyle \frac {r_1}{r_2}=\frac {p}{q}, siendo p y q números enteros, las hipocicloides son curvas algebraicas.

Cuando r1=4 r2 se tiene la astroide (x2/3+y2/3=R2/3)

Si \displaystyle \frac {r_1}{r_2} es irracional, la curva es trascendente y da infinitas vueltas dentro de la circunferencia directriz.

Ejemplos[editar]

  • Las curvas hipocicloides son una clase especial de hipotrocoides, las cuales a su vez son una clase particular de ruleta.
  • La hipocicloide de tres puntas se denomina curva deltoide.
  • La hipocicloide de cuatro puntas se llama astroide.

Véase también[editar]

Referencias en la Web[editar]