Hipocicloide

Hipocicloide (curva de trazo rojo). Parámetros: R = 3, r = 1, k = 3.

Una curva hipocicloide es la trayectoria descrita por un punto situado sobre una circunferencia generatriz que rueda sin deslizar por el interior de otra circunferencia directriz, sin deslizamiento. Es un tipo de ruleta cicloidal.

La curva hipocicloide es comparable a la cicloide, donde la circunferencia generatriz rueda sobre una línea directriz (o circunferencia de radio infinito).

Ecuación paramétrica

La ecuación paramétrica de una curva hipocicloide generada por un punto de una circunferencia de radio r₂ que rueda dentro de una circunferencia de radio r₁, es:

$x=(r_1-r_2)\sin \alpha\ - r_2\ \cos \gamma$

$y=(r_1-r_2)\cos \alpha\ - r_2\ \sin \gamma$

Pero $\displaystyle \gamma = \alpha+\beta-\pi / 2$ , además, como la circunferencia rueda sin deslizamiento, los arcos l₁ y l₂ son iguales, es decir: $r_1\ \alpha =l_1=l_2=r_2\ \beta$. De aquí se tiene que $\displaystyle \beta = \frac {r_1}{r_2} \alpha$

Sustituyendo β y γ en las ecuaciones [1] y [2] se obtiene la ecuación paramétrica de la hipocicloide:

$x=(r_1-r_2)\sin \alpha\ -r_2\ \sin [\alpha (\frac {r_1}{r_2}-1)]$

$y=(r_1-r_2)\cos \alpha\ +r_2\ \cos [\alpha (\frac {r_1}{r_2}-1)]$

Casos particulares

Cuando $\frac {r_1}{r_2}$ es un número racional, es decir, $\displaystyle \frac {r_1}{r_2}=\frac {p}{q}$, siendo p y q números enteros, las hipocicloides son curvas algebraicas.

Cuando r₁=4 r₂ se tiene la astroide (x^2/3+y^2/3=R^2/3)

Si $\displaystyle \frac {r_1}{r_2}$ es irracional, la curva es trascendente y da infinitas vueltas dentro de la circunferencia directriz.

Ejemplos

• 

  k=3

• 

  k=4

• 

  k=5

• 

  k=6

• 

  k=2.1

• 

  k=3.8

• 

  k=5.5

• 

  k=7.2

• Las curvas hipocicloides son una clase especial de hipotrocoides, las cuales a su vez son una clase particular de ruleta.
• La hipocicloide de tres puntas se denomina curva deltoide.
• La hipocicloide de cuatro puntas se llama astroide.

Véase también

• Ruleta (geometría)
• Cicloide
• Epicicloide
• Astroide
• Superelipse

Referencias en la Web

• Hipocicloides, en Descartes.
• Hipocicloides, en cfnavarra
• Curvas Técnicas, en tododibujo