Epicicloide

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La curva roja es una epicicloide trazada a medida que el pequeño círculo (radio r = 1) gira sobre la circunferencia de un círculo mayor (radius R = 3).

La epicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto de una circunferencia que rueda, sin deslizamiento, por el exterior de otra circunferencia directriz. Es un tipo de ruleta cicloidal.

Ecuación[editar]

Epicicloide.png

Considerando la figura podemos escribir:

x=(r_1+r_2)sen\ \alpha\ - r_2\ cos \gamma

y=(r_1+r_2)cos\ \alpha\ + r_2\ sen \gamma

con \gamma = \alpha+\beta-\pi / 2 y, además, como la circunferencia rueda sin deslizamiento, los arcos l1 y l2 son iguales, i.e: r_1\ \alpha =l_1=l_2=r_2\ \beta. De aquí se tiene que \beta = \frac {r_1}{r_2} \alpha

Sustituyendo β y γ en las ecuaciones [1] y [2] tenemos la ecuación paramétrica de la epicicloide: x=(r_1+r_2)sen\ \alpha\ -r_2\ sen\ [\alpha (1+\frac {r_1}{r_2})]

y=(r_1+r_2)cos\ \alpha\ -r_2\ cos\ [\alpha (1+\frac {r_1}{r_2})]

Casos particulares[editar]

Cuando \frac {r_1}{r_2} es un número racional, i.e., k = \frac {r_1}{r_2}=\frac {p}{q}, siendo p y q números enteros, las epicicloides son curvas algebraicas.

Cuando r1=r2, i.e, k=1 obtenemos una cardioide.

Cuando r1=2r2, i.e, k=2 obtenemos una nefroide.

Ejemplos[editar]

Véase también[editar]

Referencias en la Web[editar]