Epicicloide

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La curva roja es una epicicloide trazada a medida que el pequeño círculo (radio r = 1) gira sobre la circunferencia de un círculo mayor (radio R = 3).

La epicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto perteneciente a una circunferencia (generatriz) que rueda, sin deslizamiento, por el exterior de otra circunferencia (directriz). Es un tipo de ruleta cicloidal.

Ecuación[editar]

Epicicloide.png

Considerando la figura podemos escribir:

x=(r_1+r_2)sen\ \alpha\ - r_2\ cos \gamma

y=(r_1+r_2)cos\ \alpha\ + r_2\ sen \gamma

con \gamma = \alpha+\beta-\pi / 2 y, además, como la circunferencia rueda sin deslizamiento, los arcos l1 y l2 son iguales, i.e: r_1\ \alpha =l_1=l_2=r_2\ \beta. De aquí se tiene que \beta = \frac {r_1}{r_2} \alpha

Sustituyendo β y γ en las ecuaciones [1] y [2] tenemos la ecuación paramétrica de la epicicloide: x=(r_1+r_2)sen\ \alpha\ -r_2\ sen\ [\alpha (1+\frac {r_1}{r_2})]

y=(r_1+r_2)cos\ \alpha\ -r_2\ cos\ [\alpha (1+\frac {r_1}{r_2})]

Casos particulares[editar]

Cuando \frac {r_1}{r_2} es un número racional, i.e., k = \frac {r_1}{r_2}=\frac {p}{q}, siendo p y q números enteros, las epicicloides son curvas algebraicas.

Cuando r1=r2, i.e, k=1 obtenemos una cardioide.

Cuando r1=2r2, i.e, k=2 obtenemos una nefroide.

Ejemplos[editar]

Véase también[editar]

Referencias en la Web[editar]