Función trigamma

Trigamma function $\psi _{1}(z)$ in the complex plane. The color of a point $z$ encodes the value of $\psi _{1}(z)$. Strong colors denote values close to zero and hue encodes the value's argument.

En matemática, la función trigamma, denotada mediante ψ₁(z), es la segunda de las funciones poligamma, y es definida mediante

$\psi _{1}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\ln \Gamma (z)$.

Se observa de esta definición que

$\psi _{1}(z)={\frac {d}{dz}}\psi (z)$

donde ψ(z) es la función digamma. Se puede definir también como la suma de la serie

$\psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2}}},$

haciéndola un caso especial de la función zeta de Hurwitz

$\psi _{1}(z)=\zeta (2,z).{\frac {}{}}$

Nótese que las dos últimas fórmulas son válidas cuando 1-z no es un número natural.

Representaciones

Una representación, en forma de integral doble, como una alternativa a una de las dadas arriba, puede ser derivada de la representación en forma de serie:

$\psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{y}{\frac {x^{z-1}y}{1-x}}\,dx\,dy$

usando la fórmula de la suma de la serie geométrica. Integrando por partes se obtiente:

$\psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,dx$

Una expansión asintótica en términos de los números de Bernoulli es

$\psi _{1}(1+z)={\frac {1}{z}}-{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}$.

Fórmulas de recurrencia y reflexión

La función trigamma satisface la siguiente relación de recurrencia:

$\psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}$

y la fórmula de reflexión:

$\psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)=\pi ^{2}\csc ^{2}(\pi z).\,$

Valores especiales

La función trigamma tiene los siguientes valores especiales:

$\psi _{1}\left({\frac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8K$

$\psi _{1}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{2}}$

$\psi _{1}(1)={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

donde K representa la constante de Catalan.

Véase también

• Función gamma
• Función digamma
• Función poligamma
• Constante de Catalan

Referencias

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. See section §6.4
• Weisstein, Eric W. «Trigamma». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.