Función theta

En matemática, las funciones theta o θ-funciones son funciones especiales de varias variables complejas. Son importantes en diversas áreas, incluidas las teorías de variedades abelianas y espacios móduli, y de las formas cuadráticas. También se las ha aplicado a la teoría de solitones. Usadas para generalizar a una álgebra de Grassmann, aparecen en la teoría cuántica de campos, en particular la teoría de las cuerdas y D-branas.

La forma más común de la función theta es que proviene de teoría de las funciones elípticas. Con respecto a una de las variables complejas (convencionalmente llamada z), una función theta expresa su comportamiento respecto a la adición de un período de las funciones elípticas asociados, lo que la hace una función cuasi periódica. En la teoría abstracta proviene de una condición descendente sobre un fibrado vectorial.

Función theta de Jacobi

La función theta de Jacobi (por el matemático Carl Gustav Jacobi) es una función definida por dos variables complejas τ y z, donde z puede ser cualquier número complejo y τ pertenece al semiplano superior, es decir que tiene su parte imaginaria positiva. Es dada por la fórmula

$\vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi in^{2}\tau +2\pi inz)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\left(e^{\pi i\tau }\right)^{n^{2}}\cos(2\pi nz).$

Si τ es fijo, esta se convierte en una serie de Fourier para una función periódica respecto a z con período 1. En este caso, la función theta satisface la identidad

$\vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau ).$

La función también se comporta muy regularmente con respecto a su cuasi período τ y cumple la ecuación funcional

$\vartheta (z+a+b\tau ;\tau )=\exp(-\pi ib^{2}\tau -2\pi ibz)\,\vartheta (z;\tau )$

donde a y b son enteros.

Funciones auxiliares

La función theta de Jacobi también se puede escribir con un doble 0 como subíndice:

$\vartheta _{00}(z;\tau )=\vartheta (z;\tau )$

Tres funciones auxiliares (semiperiódicas) son definidas por

${\begin{aligned}\vartheta _{01}(z;\tau )&=\vartheta \!\left(z+{\textstyle {\frac {1}{2}}};\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=\exp \!\left({\textstyle {\frac {1}{4}}}\pi i\tau +\pi iz\right)\vartheta \!\left(z+{\textstyle {\frac {1}{2}}}\tau ;\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=\exp \!\left({\textstyle {\frac {1}{4}}}\pi i\tau +\pi i\!\left(z+{\textstyle {\frac {1}{2}}}\right)\right)\vartheta \!\left(z+{\textstyle {\frac {1}{2}}}\tau +{\textstyle {\frac {1}{2}}};\tau \right).\end{aligned}}$

Esta notación proviene de Riemann y Mumford; la formulación original de Jacobi fue presentada en términos de q = exp(πiτ), en lugar de τ. En la notación de Jacobi las θ-funciones están escritas como:

${\begin{aligned}\theta _{1}(z;q)&=-\vartheta _{11}(z;\tau )\\\theta _{2}(z;q)&=\vartheta _{10}(z;\tau )\\\theta _{3}(z;q)&=\vartheta _{00}(z;\tau )\\\theta _{4}(z;q)&=\vartheta _{01}(z;\tau )\end{aligned}}$

La anterior definición de las funciones theta de Jacobi no las determina en forma única.

Si fijamos z = 0 en las funciones anteriores, obtenemos cuatro funciones que varían sólo respecto a τ, definidas en el semiplano superior (a veces llamadas theta constantes.) Estas pueden utilizarse para definir una variedad de formas modulares, y para parametrizar ciertas curvas. En particular, la identidad de Jacobi es

$\vartheta _{00}(0;\tau )^{4}=\vartheta _{01}(0;\tau )^{4}+\vartheta _{10}(0;\tau )^{4}$

que es la curva de Fermat de grado cuatro.

Identidades de Jacobi

Las identidades de Jacobi describen cómo se transforman las funciones theta bajo el grupo modular, que es generado por τ ↦ τ +1 y τ ↦ -1 / τ. Ya tenemos las ecuaciones de la primera transformación, para la segunda, sea

$\alpha =(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\exp \!\left({\frac {\pi }{\tau }}iz^{2}\right).\,$

entonces

${\begin{aligned}\vartheta _{00}\!\left({\textstyle {\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}}\right)&=\alpha \,\vartheta _{00}(z;\tau )\quad &\vartheta _{01}\!\left({\textstyle {\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}}\right)&=\alpha \,\vartheta _{10}(z;\tau )\\[3pt]\vartheta _{10}\!\left({\textstyle {\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}}\right)&=\alpha \,\vartheta _{01}(z;\tau )\quad &\vartheta _{11}\!\left({\textstyle {\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}}\right)&=-\alpha \,\vartheta _{11}(z;\tau )\end{aligned}}$

Relación con la función zeta de Riemann

La relación

$\vartheta (0;-1/\tau )=(-i\tau )^{1/2}\vartheta (0;\tau )$

fue utilizada por Riemann para demostrar la ecuación funcional de la función zeta de Riemann, usando la integral

$\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-s/2}\zeta (s)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (0;it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}$

la cual es invariante bajo la sustitución de s por 1 − s.

Relación con la función elíptica de Weierstrass

La función theta fue utilizada por Jacobi para construir sus funciones elípticas como los cocientes de las cuatro funciones theta, y podría también haber sido utilizada por él para la construcción de funciones elípticas de Weierstrass también, puesto que

$\wp (z;\tau )=-(\log \vartheta _{11}(z;\tau ))''+c$

donde la segunda derivada es con respecto a la z y la constante c se define de manera que la expansión de Laurent $\wp (z)$ en z = 0 tiene término constante cero.

Una relación con formas modulares

Sea η la función eta de Dedekind. Entonces

$\vartheta (0;\tau )={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {\tau +1}{2}}\right)}{\eta (\tau +1)}}$.

Una solución a la ecuación de calor

La función theta de Jacobi es la única solución a la ecuación 1-dimensional de calor con condiciones de frontera periódicas en tiempo cero. Se ve más fácilmente tomando z = x reales, y teniendo τ = it, con t real y positivo. Entonces podemos escribir

$\vartheta (x,it)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\exp(-\pi n^{2}t)\cos(2\pi nx)$

lo cual resuelve la ecuación de calor

${\frac {\partial }{\partial t}}\vartheta (x,it)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\vartheta (x,it).$

Que esta solución es única se puede ver observando que en t = 0, la función theta se convierte en el peine de Dirac:

$\lim _{t\rightarrow 0}\vartheta (x,it)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)$

donde δ es la función delta de Dirac. Así, en general las soluciones pueden ser especificadas convolucionando la condición de frontera (periódica) en t = 0 con la función theta.

Relación con el grupo de Heisenberg

La función theta de Jacobi es invariante bajo la acción de un subgrupo discreto del grupo de Heisenberg.

Generalizaciones

Si F es una forma cuadrática en n variables, entonces la función theta asociado a F es

$\theta _{F}(z)=\sum _{m\in Z^{n}}\exp(2\pi izF(m))$

con la sumatoria que se extiende sobre el reticulado Zⁿ (n-uplas de números enteros). Esta función theta es una forma modular de peso n/ 2 del grupo modular. En la expansión de Fourier,

${\hat {\theta _{F}}}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }R_{F}(k)\exp(2\pi ikz)$,

los númerosR_F(k) son llamados a la números de representación de la forma.

Función theta de Riemann

Sea

$\mathbb {H} _{n}=\{F\in M(n,\mathbb {C} )\;\mathrm {s.t.} \,F=F^{T}\;{\textrm {and}}\;{\mbox{Im}}F>0\}$

el conjunto de matrices cuadradas simétricas cuya parte imaginaria es positiva definida. Aquí, elevar a la T denota la traspuesta de la matriz. H_n es llamado el semiplano superior de Siegel y es el análogo multidimensional del semiplano superior. El análogo n-dimensional del grupo modular es el grupo simpléctico Sp(2n,Z); para n = 1, Sp(2,Z) = SL(2,Z). El análogo n-dimensional de los subgrupos de congruencia es desempeñado por ${\textrm {Ker}}\{{\textrm {Sp}}(2n,\mathbb {Z} )\rightarrow {\textrm {Sp}}(2n,\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )\}$.

Luego, dado $\tau \in \mathbb {H} _{n}$, la función theta de Riemann se define como

$\theta (z,\tau )=\sum _{m\in Z^{n}}\exp \left(2\pi i\left({\frac {1}{2}}m^{T}\tau m+m^{T}z\right)\right).$

Aquí, $z\in \mathbb {C} ^{n}$ es vector complejo n-dimensional. La función theta de Jacobi es entonces un caso especial, con n = 1 y $\tau \in \mathbb {H}$ donde $\mathbb {H}$ es el semiplano superior.

La theta de Riemann converge absoluta y uniformemente en subconjuntos compactos de $\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {H} _{n}.$

La ecuación funcional es

$\theta (z+a+\tau b,\tau )=\exp 2\pi i\left(-b^{T}z-{\frac {1}{2}}b^{T}\tau b\right)\theta (z,\tau )$

la cual vale para todos los vectores $a,b\in \mathbb {Z} ^{n}$,y para todo $z\in \mathbb {C} ^{n}$ y $\tau \in \mathbb {H} _{n}$.

Referencias

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. (See section 16.27ff.)
• Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
• Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4 (See Chapter 6 for treatment of the Riemann theta)
• G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, fourth edition (1959) , Oxford University Press
• David Mumford, Tata Lectures on Theta I (1983), Birkhauser, Boston ISBN 3-7643-3109-7
• James Pierpont Functions of a Complex Variable, Dover
• Harry E. Rauch and Hershel M. Farkas, Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces, (1974) Williams & Wilkins Co. Baltimore ISBN 0-683-07196-3.
• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1927. (See chapter XXI for the history of Jacobi's θ functions)

Enlaces externos

• Abramowitz and Stegun hosted by Simon Fraser University