En matemática, se llama forma indeterminada a una expresión algebraica que involucra límites del tipo:
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Estas expresiones se encuentran con frecuencia dentro del contexto del límite de funciones y, más generalmente, del cálculo infinitesimal y el análisis real.
Interpretación
El hecho de que dos funciones f y g se acerquen ambas a cero cuando x tiende a algún punto de acumulación c no es información suficiente para evaluar el límite
Dicho límite puede converger a cualquier valor, puede converger a infinito o puede no existir, dependiendo de las funciones f y g.
Cociente indeterminado
La forma 0/0
Un ejemplo muy frecuente es la forma indeterminada del tipo 0/0. Cuando x se acerca a 0, las razones x/x3, x/x, y x2/x se van a
, 1, y 0 respectivamente. En cada caso, sin embargo, si los límites del numerador y del denominador se evalúan en la operación de división, el resultado es 0/0. De manera que (hablando informalmente) 0/0 puede ser 0,
o incluso 1 y, de hecho, es posible construir otros ejemplos similares que converjan a cualquier valor particular. Por ello es que la expresión 0/0 se dice que es indeterminada.
Ejemplos:
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}={\cfrac {0}{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b4979537e46c2ee11ceb28bed3d8de5a13266c0)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x}}={\cfrac {0}{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a18082b89ecf8a75568e552133f0ebd4b52d8db7)
La forma ∞/∞
Esta forma indeterminada se da en cocientes en los cuales, tanto el numerador como el denominador, tienen por límite ∞. En estos casos, no se puede aplicar ninguna regla operatoria, por lo que se dice que se está frente a una forma ideterminada del tipo ∞/∞. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos tales como factorización, derivación, el teorema del emparedado, entre otros.
Ejemplos:
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x}}={\frac {+\infty }{+\infty }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f951c73a571272db68734e7a92c94b7459b428f)
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {\sqrt {x}}{\ln(x)}}={\frac {+\infty }{+\infty }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c8cec4b7046d1725df8927cda126ae3d94892bb)
Producto indeterminado
La forma indeterminada 0 • ∞
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x=0\cdot (-\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8701c29ce9758f10f4a27794c8eeb5a7400205b9)
![{\displaystyle \lim _{x\to {\frac {\pi }{2}}}\cos x\cdot \tan x=0\cdot \infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/417e2e1d36d3c9465a0e2f2df2870b741ec63652)
Diferencia indeterminada
En los casos en que el límite de una diferencia es
, no se puede aplicar ninguna regla operatoria para límites, por lo que se dice que se está frente a una forma ideterminada del tipo
. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos como la multiplicación por los polinomios conjugados.
Potencia indeterminada
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{\ln x^{x}}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{x\ln x}=e^{\lim _{x\to 0^{+}}(x\ln x)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70c4e74b07702bebee67ab1e83399644323b515b)
Ejemplo: el siguiente límite[1]
, es de la forma
; considerando
![{\displaystyle y=x^{({\frac {3}{4+\ln x}})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be0fd357de8f188b7a414f4c44b09d3d49bb0e56)
y tomando logaritmos en ambos miembros resulta
aplicando al segundo miembro la regla de l'Hôpital, se obtiene
de manera que el límite sería
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}y=e^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3efca5e222a7f052c8087f8027dc4de5abf838e)
Tabla de formas indeterminadas
La siguiente tabla contiene las formas indeterminadas y las transformaciones bajo la regla de l'Hôpital.
Forma indeterminada
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Condiciones
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Transformación a 0/0
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Transformación a ∞/∞
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Véase también
Referencias