Fasor (electrónica)

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Un fasor o vector giratorio es una constante en número complejo que representa la amplitud compleja (magnitud y fase) de una función de tiempo sinusoide. Usualmente se expresa en como una exponencial, como un número complejo o como un vector. Los fasores se utilizan en ingeniería para simplificar los cálculos con sinusoides, ya que permiten reducir un problema de ecuaciones diferenciales a uno algebráico cuando la frecuencia del sistema es constante.

Tabla de contenidos

[editar] Introducción

Una sinusoide u onda seno está definida como una función de la forma (la razón de utilizar una onda coseno en lugar de un seno será entendida posteriormente)

y=A\cos{(\omega t+\phi)}\,\!

donde

  • y es la cantidad que varía con el tiempo
  • φ es una constante (en radianes) conocida como el ángulo de fase de la sinusoide
  • A es una constante conocida como la amplitud de la sinusoide. Es el valor de pico de la función.
  • ω es la frecuencia angular dada por ω = 2πf donde f es la frecuencia.
  • t es el tiempo.

Esto puede ser expresado como

y=\Re \Big(A\big(\cos{(\omega{}t+\phi)}+i\sin{(\omega t+\phi)}\big)\Big)\,\!

donde

  • i es la unidad imaginaria \sqrt{-1}. En ingeniería electrónica se usa "j" en lugar de "i" para evitar las confusiones que se producirían con el mismo símbolo que se usa para designar la intensidad de la corriente eléctrica.
  • \Re (z) da la parte real del número complejo z

De forma equivalente, según la fórmula de Euler,

y=\Re(Ae^{i(\omega{}t+\phi)})\,\!
y=\Re(Ae^{i\phi}e^{i\omega{}t})\,\!

Y, la representación fasor de esta sinusoide se define de la forma siguiente::

Y = Ae^{i \phi}\,

de forma que

y=\Re(Ye^{i\omega{}t})\,\!

Así, el fasor Y es el número complejo constante que contiene la magnitud y fase de la sinusoide. Para simplificar la notación, los fasores se escriben habitualmente en notación angular:

Y = A \angle \phi \,

Dentro de la Ingeniería Electrónica, el ángulo fase se especifica habitualmente en grados en lugar de en radianes y la magnitud suele ser el valor eficaz en lugar del valor de pico de la sinusoide.

[editar] Cálculo de fasores

Cuando las sinusoides se representan como fasores, las ecuaciones diferenciales se convierten en ecuaciones algebraicas. Esto se produce debido a que la función exponencial es la función unidad de la operación derivada:

\frac{d}{dt}(e^{j \omega t}) = j \omega e^{j \omega t}

De esta forma, la operación derivada sólo cambia la amplitud compleja. Tomando la parte real en ambos lados de la ecuación anterior, obtenemos el siguiente resultado::

\frac{d}{dt} \cos{\omega t} = - \omega \sin{\omega t}\,

Entonces, la derivada en el tiempo de la sinusoide se convierte, en representación fasorial, en la multiplicación por la frecuencia compleja. De forma similar, integrar un fasor se corresponde con dividir por la frecuencia compleja.

Como ejemplo podemos considerar la siguiente ecuación diferencial que resulta de analizar la tensión en un condensador en un circuito RC:

\frac{dv_C}{dt} + \frac{1}{RC}v_C = \frac{1}{RC}v_S

Cuando la fuente de tensión en este circuito en una sinusoidal:

v_S(t) = V_P \cos(\omega t + \phi)\,

la ecuación diferencial (en forma fasorial) se convierte en:

j \omega V_c + \frac{1}{RC} V_c = \frac{1}{RC}V_s

donde

V_s = V_P e^{j \phi}\,

Resolviendo el fasor para la tensión en el condensador:

V_c = \frac{1}{1 + j \omega RC} V_s

Para convertir este fasor de nuevo en una sinusoide, debemos expresar todos los números complejos en forma polar:

V_c = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}e^{j \theta(\omega)} V_s

donde

\theta(\omega) = -\arctan(\omega RC)\,

Entonces

v_C(t) = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}} V_P \cos(\omega t + \phi + \theta(\omega))

[editar] Leyes de circuitos

Utilizando fasores, las técnicas para resolver circuitos CC se pueden aplicar para resolver circuitos AC. A continuación se indican las leyes básicas.

  • Ley de Ohm para resistencias: Una resistencia no produce retrasos en el tiempo, y por tanto no cambia la fase de una señal. Por tanto V=IR sigue siendo válida.
  • Ley de Ohm para resistencias, bobinas y condensadores: V=IZ donde Z es la impedancia compleja.
  • En un circuito AC se presenta una potencia activa (P) que es la representación de la potencia media en un circuito y potencia reactiva (Q) que indica el flujo de potencia atrás y adelante. Se puede definir también la potencia compleja S=P+jQ y la potencia aparente que es la magnitud de S. La ley de la potencia para un circuito AC expresada mediante fasores es entonces S=VI* (donde I* es la conjugada compleja de I).
  • Las Leyes de Kirchhoff trabajan con fasores en forma compleja.

Dado esto, se pueden aplicar las técnicas de análisis de circuitos resistivos con fasores para analizar cicuitos AC de una sola frecuencia que contienen resistencias, bobinas y condensadores. Los circuitos AC con más de una frecuencia o con formas de onda diferentes pueden ser analizados para obtener tensiones y corrientes transformando todas las formas de onda en sus componentes sinusoidales y después analizando cada frecuencia por separado. , Sin embargo, este método no es válido para el cálculo de potencias, ya que esta se basa en la multiplicación de tensiones e intensidades.

[editar] Transformada fasorial

La transformada fasorial o representación fasorial permite cambiar de forma compleja a forma trigonométrica:

V_m e^{j \phi } = \mathcal{P} \{ V_m cos( \omega t + \phi ) \}

donde la notación \mathcal{P} \{ \} se lee como "transformada fasorial de ____."

La transformada fasorial transfiere la función sinusoidal del dominio del tiempo al dominio de los números complejos o dominio de la frecuencia.

[editar] Transformada fasorial inversa

La transformada fasorial inversa \mathcal{P}^{-1} permite volver del dominio fasorial al dominio del tiempo.

V_m cos( \omega t + \phi ) = \mathcal{P}^{-1} \{ V_m e^{j \phi } \} = \Re \{ V_m e^{j \phi } e^{j \omega t } \}

[editar] Aritmética fasorial

Lo mismo que con otras cantidades complejas, el uso de la forma exponencial polar Aeiφ simplifica las multiplicaciones y divisiones, mientras que la forma cartesiana (rectangular) a + ib simplifica las sumas y restas.

[editar] Véase también

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Fasor_%28electr%C3%B3nica%29"
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