Extensión simple

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En la teoría de cuerpos (una rama del álgebra), una extensión simple es una extensión de cuerpos L:K de manera que L está generado por un solo elemento, al cual se lo denomina elemento primitivo. Dicho de otro modo, un elemento primitivo de una extensión de cuerpos L/K es un elemento ζ de L tal que

L = K(ζ),

o en otras palabras, L está generado por ζ sobre K. Esto significa que todo elemento de L puede ser escrito como cociente de dos polinomios en ζ con coeficientes en K.

Si la extensión L/K es simple (es decir, si admite un elemento primitivo), entonces L puede ser una extensión finita de K (caso en el que ζ es un elemento algebraico de L sobre K), o en cambio L es isomorfo al cuerpo de funciones racionales sobre K en una indeterminada (en este caso ζ es un elemento trascendente de L sobre K).

Construcción[editar]

Sean L y K dos cuerpos de manera que L es extensión de K. Se define la extensión generada por \alpha sobre K como el conjunto

K(\alpha):= \{\frac{f(\alpha)}{g(\alpha)}: f,g \in K[x], g(\alpha) \neq 0\}.

Así K(\alpha) es exactamente el conjunto de los valores que se obtienen al evaluar en \alpha todas las funciones racionales definidas en K.

Propiedades[editar]

  • K(\alpha) es un subconjunto de L:
Todo elemento de K[x] está también en L[x], y como \alpha \in L, si f \in K[x] entonces f(\alpha) \in L. Si g \in K[x] entonces es g(\alpha) \in L, y si g(\alpha) \neq 0, existe g(\alpha)^{-1} \in L. Así pues, \frac{f(\alpha)}{g(\alpha)}:= f(\alpha) \cdot g(\alpha)^{-1} \in L y es K(\alpha) \subset L.
  • De hecho, K(\alpha) es subcuerpo de L.
Definimos las operaciones suma y producto en K(\alpha) como las restricciones a K(\alpha) de las operaciones del cuerpo de cocientes de L, i.e., si \frac{f(\alpha)}{g(\alpha)},\frac{p(\alpha)}{q(\alpha)} \in K(\alpha) , entonces:
\mathrm{i}) \quad \frac{f(\alpha)}{g(\alpha)} + \frac{p(\alpha)}{q(\alpha)}:= \frac{f(\alpha)q(\alpha)+p(\alpha)g(\alpha)}{g(\alpha)q(\alpha)}
\mathrm{ii}) \quad\frac{f(\alpha)}{g(\alpha)} \cdot \frac{p(\alpha)}{q(\alpha)} := \frac{f(\alpha)\cdot p(\alpha)}{g(\alpha)q(\alpha)}.
Por ser K[x] un anillo y L un cuerpo, es sencillo demostrar que la suma y el producto así definidos en K(\alpha) son operaciones internas en K(\alpha).
Como L es cuerpo, en particular es dominio de integridad, y por la Propiedad Universal del Cuerpo de Cocientes de un Dominio Íntegro, el cuerpo de cocientes de L es Q(L)=L (el menor cuerpo que contiene a L es el propio L). Así se demuestra que K(\alpha), con las operaciones así definidas, es subcuerpo de L.
  • K es un subconjunto de K(\alpha)
Para comprobar que K \subset K(\alpha), basta con tomar el cociente \frac{a(\alpha)}{1(\alpha)}=\frac{a}{1}=a para cada a \in K (donde identificamos a \in K con el polinomio constante a(x)=a \in K[x]). Además, como las operaciones en L son las extensiones de las operaciones en K, es inmediato que K es subcuerpo de K(\alpha).
Tomando el polinomio x \in K[x], entonces es \alpha = \frac{\alpha}{1}=\frac{x(\alpha)}{1(\alpha)}, luego \alpha \in K(\alpha).
Todo esto demuestra que K(\alpha) es una extensión de K y subcuerpo de L.
  • Finalmente, K(\alpha) es la menor extensión de K que contiene a \alpha:
Sea ahora una extensión E de K de forma que \alpha \in E. Como K(\alpha):= \{\frac{f(\alpha)}{g(\alpha)}: f,g \in K[x], g(\alpha) \neq 0\} y K \subset E, si f,g \in K[x], entonces f,g \in E[x], y como \alpha \in E, entonces f(\alpha), g(\alpha) \in E. Por último, como E es cuerpo, si g(\alpha) \neq 0, entonces existe g(\alpha)^{-1} \in E y \frac{f(\alpha)}{g(\alpha)} \in E, luego K(\alpha) \subset E.
Queda entonces demostrado que K(\alpha) es la menor extensión de K que contiene a \alpha. A este proceso se le denomina a veces adjunción de un elemento \alpha a un cuerpo K.

Observaciones[editar]

Una extensión simple K(\alpha):K puede ser algebraica o trascendente, dependiendo de si \alpha es un elemento algebraico o trascendente sobre K. Si \alpha es trascendente, entonces el grado [K(\alpha):K] de la extensión es infinito. Si \alpha es algebraico, entonces el grado [K(\alpha):K] de la extensión es finito. En concreto, [K(\alpha):K] = \deg(m_{\alpha}^k), siendo m_{\alpha}^K el polinomio mónico irreducible de \alpha sobre K. Se deduce que toda extensión simple que sea algebraica es de grado finito.

Recíprocamente, si la extensión L/K admite un elemento primitivo, entonces L puede ser una extensión finita de K, caso en el que ζ es un elemento algebraico de L sobre K, o en cambio L es isomorfo al cuerpo de funciones racionales sobre K en una indeterminada, en este caso ζ es un elemento trascendente de L sobre K.

Teorema del elemento primitivo[editar]

El teorema del elemento primitivo responde a la pregunta de qué extensiones finitas de cuerpos tienen elementos primitivos, es decir, son simples. Por ejemplo, no es obvio que si se junta al cuerpo Q de números racionales las raíces de los siguientes polinomios

X2 − 2

y

X2 − 3,

llamadas α y β respectivamente, para obtener un cuerpo K = Q(α, β) de grado 4 sobre Q, donde K es Q(γ) para un elemento primitivo γ. De hecho, se puede ver que

γ = α + β

Las potencias de γi para 0 ≤ i ≤ 3 pueden ser expresadas como combinación lineal de 1, α, β y αβ a coeficientes enteros. Tomando dichas igualdades como un sistema lineal de ecuaciones, se puede resolver para α y β sobre Q(γ), la cual cosa implica que dicha elección de γ es en realidad un elemento primitivo en este ejemplo.

Enunciado[editar]

En general, el teorema del elemento primitivo se enuncia de la siguiente forma:

La extensión de cuerpo L/K es finita y tiene un elemento primitivo si y solo si hay un número finito de subextensiones de cuerpos F con KFL.

Consecuencias[editar]

Un importante corolario de dicho teorema afirma:

Toda extensión separable finita L/K tiene un elemento primitivo.

Dicho corolario es aplicable al ejemplo expuesto más arriba (y a muchos similares), ya que Q tiene característica 0 por lo que toda extensión finita sobre Q es separable.

Para extensiones inseparables (o no separables), se puede afirmar lo siguiente:

Si el grado de la extensión [L:K] es un número primo, entonces L/K tiene un elemento primitivo.

Si el grado de la extensión no es un número primo y la extensión no es separable, se pueden encontrar contraejemplos. Por ejemplo, si K es Fp(T,U), el cuerpo de las funciones racionales con dos indeterminadas T y U sobre el cuerpo finito con p elementos, y L se obtiene a partir de K adjuntando una raíz pesima de T, y de U, entonces no existe ningún elemento primitivo de L sobre K. De hecho se puede ver que para cualquier α en L, el elemento αp pertenece a K. Además tenemos que [L:K] = p2 pero no existen elementos de L con grado p2 sobre K, como un elemento primitivo debería tener.

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]