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Revisión del 20:47 3 may 2010

El campo eléctrico, en física, es un ente físico que es representado mediante un modelo que describe la interacción entre cuerpos y sistemas con propiedades de naturaleza eléctrica.^[1] Matemáticamente se describe como un campo vectorial en el cual una carga eléctrica puntual de valor $q$ sufre los efectos de una fuerza eléctrica ${\vec {F}}$ dada por la siguiente ecuación:

${\vec {F}}=q{\vec {E}}$

En los modelos actuales, el campo eléctrico se incorpora, junto con el campo magnético, en campo tensorial cuadridimensional, denominado campo electromagnético F^μν.^[2]

Los campos eléctricos pueden tener su origen tanto en cargas eléctricas como en campos magnéticos variables. Las primeras descripciones de los fenómenos eléctricos, como la ley de Coulomb, sólo tenían en cuenta las cargas eléctricas, pero las investigaciones de Michael Faraday y los estudios posteriores de James Clerk Maxwell permitieron establecer las leyes completas en las que también se tiene en cuenta la variación del campo magnético.

Esta definición general indica que el campo no es directamente medible, sino a través de la ponderación de la fuerza actuante sobre alguna carga. La idea de campo eléctrico fue propuesta por Faraday al demostrar el principio de inducción electromagnética en el año 1832.

La unidad del campo eléctrico en el SI es newton por culombio, voltio por metro o, en unidades básicas, kg·m·s⁻³·A⁻¹.

Definición

La definición más general e intuitiva acerca del campo eléctrico se la puede estudiar mediante la ley de Coulomb. Sin embargo, una definición más formal y completa acerca del campo requiere el uso de cuadrivectores y el principio de mínima acción. A continuación se describen ambas.

Definición mediante la ley de Coulomb

Campo eléctrico de una distribución lineal de carga. Una carga puntual P es sometida a una fuerza en direccion radial ${\vec {u}}_{r}$ por una distribucion de carga $\lambda$ en forma de diferencial de linea ( $dL$ ), lo que produce un campo eléctrico $d{\vec {E}}$ .

Partiendo de la ley de Coulomb que expresa que la interacción entre dos cargas depende del cuadrado de la distancia, matemáticamente es igual a:^[1]

(6) ${\vec {F}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}{\hat {r}}$

donde el factor ${\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}$ se introduce en el sistema internacional para correcciones de unidades, $q_{1}$ y $q_{2}$ son las cargas que interactúan, ${\vec {r}}$ es la distancia entre las cargas y ${\hat {r}}$ es el unitario en la dirección ${\vec {r}}$ .

Sin embargo en la física, para eliminar la idea de que la acción que ejerce una fuerza a distancia es instantánea, se introduce el concepto de campo.^[1] Así, el campo eléctrico es la distorsión que sufre el espacio debido a la presencia de una carga. Considerando esto se puede obtener una expresión del campo eléctrico cuando este sólo depende de la distancia entre las cargas:

(7) ${\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}{\hat {r}}$

donde claramente se tiene que ${\vec {F}}=q{\vec {E}}$ , la que es una de las definiciones más conocidas acerca del campo eléctrico.

Definición formal

La definición más formal de campo eléctrico surge a partir de calcular la acción de una partícula cargada en movimiento a través de un campo electromagnético.^[2] Este campo forma parte de un único campo electromagnético tensorial $F^{\mu \nu }$ definido por un potencial cuadrivectorial de la forma:^[1]

(1) $F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\quad ;\qquad A^{i}=({\frac {\phi }{c}},{\vec {A}})$

donde $\phi$ es el potencial escalar y ${\vec {A}}$ es el potencial vectorial tridimensional. Así, de acuerdo al principio de mínima acción, se plantea para una partícula en movimiento en un espacio cuadridimensional:

(2) $S=-\int _{a}^{b}(mc{\text{ ds}}+{\frac {e}{c}}A_{i}{\text{ dx}}^{i})$

donde $e$ es la carga de la partícula, $m$ es su masa y $c$ la velocidad de la luz. Reemplazando (1) en (2) y conociendo que $dx^{i}=u^{i}ds$ , donde $dx^{i}$ es el diferencial de la posición definida $dx^{i}=(cdt,dx,dy,dz)$ y $u^{i}$ es la velocidad de la partícula, se obtiene:

(3) $S=-\int _{a}^{b}(mc{\text{ ds}}+{\frac {e}{c}}{\vec {A}}\cdot {\text{d}}{\vec {\text{r}}}-e\phi {\text{ dt}})$

El término dentro de la integral se conoce como el lagrangiano del sistema; derivando esta expresión con respecto a la velocidad se obtiene el momento de la partícula, y aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange se encuentra que la variación temporal de la cantidad de movimiento de la partícula es:

(4) ${\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=-{\frac {e}{c}}{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}-e{\vec {\nabla }}\phi +{\frac {e}{c}}{\vec {v}}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}})$

De donde se obtiene la fuerza total de la partícula. Los dos primeros términos son independientes de la velocidad de la partícula, mientras que el último depende de ella. Entonces a los dos primeros se les asocia el campo eléctrico y al tercero el campo magnético. Así se encuentra la definición más general para el campo eléctrico:^[2]

(5) ${\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}-{\vec {\nabla }}\phi$

La ecuación (5) brinda mucha información acerca del campo eléctrico. Por un lado, el primer término indica que un campo eléctrico es producido por la variación temporal de un potencial vectorial descrito como ${\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}$ donde ${\vec {B}}$ es el campo magnético; y por otro, el segundo representa la muy conocida descripción del campo como el gradiente de un potencial.^[2]

Descripción del campo eléctrico

Matemáticamente un campo se lo describe mediante dos de sus propiedades, su divergencia y su rotacional. La ecuación que describe la divergencia del campo eléctrico se la conoce como ley de Gauss y la de su rotacional es la ley de Faraday.^[1]

Ley de Gauss

Artículo principal: Ley de Gauss

Para conocer una de las propiedades del campo eléctrico se estudia que ocurre con el flujo de éste al atravesar una superficie. El flujo de un campo $\Phi$ se lo obtiene de la siguiente manera:

(8) $\Phi _{E}=\int _{a}^{b}{\vec {E}}\cdot d{\vec {a}}$

donde $d{\vec {a}}$ es el diferencial de área en dirección normal a la superficie. Aplicando la ecuación (7) en (8) y analizando el flujo a través de una superficie cerrada se encuentra que:

(9) $\oint _{S}{\vec {E}}\cdot d{\vec {a}}={\frac {1}{\epsilon _{0}}}Q_{enc}$

donde $Q_{enc}$ es la carga encerrada en esa superficie. La ecuación (9) es conocida como la ley integral de Gauss y su forma derivada es:

(10) ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

donde $\rho$ es la densidad volumétrica de carga. Esto indica que el campo eléctrico diverge hacia una distribución de carga; en otras palabras, que el campo eléctrico comienza en una carga y termina en otra.^[1]

Esta idea puede ser visualizada mediante el concepto de líneas de campo. Si se tiene una carga en un punto, el campo eléctrico estaría dirigido hacia la otra carga.

Ley de Faraday

Artículo principal: Ley de Faraday

En 1801, Michael Faraday realizó una serie de experimentos que lo llevaron a determinar que los cambios temporales en el campo magnético inducen un campo eléctrico. Esto se conoce como la ley de Faraday. La fuerza electromotriz, definida como el rotacional a través de un diferencial de línea está determinado por:

(11) $\epsilon =\oint {\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {\text{l}}}=-{\frac {d\Phi }{dt}}$

donde el signo menos indica la Ley de Lenz y $\Phi$ es el flujo magnético en una superficie, determinada por:

(12) $\Phi =\int {\vec {B}}\cdot {\text{d}}{\vec {\text{a}}}$

reemplazando (12) en (11) se obtiene la ecuación integral de la ley de Faraday:

(13) $\oint {\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {\text{l}}}=-\int {\frac {d{\vec {B}}}{dt}}\cdot {\text{d}}{\vec {\text{a}}}$

Aplicando el teorema de Stokes se encuentra la forma diferencial:

(14) ${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{dt}}$

La ecuación (14) completa la descripción del campo eléctrico, indicando que la variación temporal del campo magnético induce un campo eléctrico.^[1]

Campo electrostático

Artículo principal: Campo electrostático

Un caso especial del campo eléctrico es el denominado electrostático. Un campo electrostático no depende del tiempo, es decir es estacionario. Para este tipo de campos la Ley de Gauss todavía tiene validez debido a que esta no tiene ninguna consideración temporal, sin embargo, la Ley de Faraday debe ser modificada. Si el campo es estacionario, la parte derecha de la ecuación (13) y (14) no tiene sentido, por lo que se anula:

(15) ${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=0$

Esta ecuación junto con (10) definen un campo electrostático. Además, por el cálculo diferencial, se sabe que un campo cuyo rotacional es cero puede ser descrito mediante el gradiente de una función escalar $V$ , conocida como potencial eléctrico:

(16) ${\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}V$

La importancia de (15) radica en que debido a que el rotacional del campo eléctrico es cero, se puede aplicar el principio de superposición a este tipo de campos. Para varias cargas, se define el campo eléctrico como la suma vectorial de sus campos individuales:

(17) ${\vec {E}}={\vec {E}}_{1}+{\vec {E}}_{2}+{\vec {E}}_{3}+...$

entonces

(18) ${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}={\vec {\nabla }}\times ({\vec {E}}_{1}+{\vec {E}}_{2}+{\vec {E}}_{3}+...)=({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}_{1})+({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}_{2})+({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}_{3})+...=0$

Líneas de campo

Un campo eléctrico estático puede ser representado geométricamente con líneas vectoriales en dirección de la variación del campo, a estas líneas se las conoce como "líneas de campo". Las líneas vectoriales se utilizan para crear una representación gráfica del campo, y pueden ser tantas como sea necesario visualizar.

Las líneas de campo son líneas perpendiculares a la superficie del cuerpo, de manera que su tangente geométrica en un punto coincide con la dirección del campo en ese punto. Esto es una consecuencia directa de la ley de Gauss, es decir encontramos que la mayor variación direccional en el campo se dirige perpendicularmente a la carga. Al unir los puntos en los que el campo eléctrico es de igual magnitud, se obtiene lo que se conoce como superficies equipotenciales, son aquellas donde el potencial tiene el mismo valor numérico.

Energía del campo

Artículo principal: Energía eléctrica

Un campo en general almacena y mueve energía. La densidad volumétrica de energía de un campo eléctrico está dada por la expresión siguiente:^[1]

(19) $u={\frac {1}{2}}\epsilon _{0}|{\vec {E}}|^{2}={\frac {1}{2}}\epsilon _{0}\cdot {\vec {E}}\cdot {\vec {E}}$

Por lo que la energía total en un volumen está dada por:

(20) $u={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{vol}{\vec {E}}\cdot {\vec {E}}\,dV$

donde $dV$ es el diferencial de volumen.

Véase también

Referencias

↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h Griffiths, David J. (1999). Introduction to Electrodynamics. Prentice-Hall,Inc. ISBN0-13-805326-X.
↑ ^a ^b ^c ^d Landau, Lev (1980). The Classical Theory of Fields. Butterworth-Heinemann. 0750627689.

Enlaces externos

[griffiths-1] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h Griffiths, David J. (1999). Introduction to Electrodynamics. Prentice-Hall,Inc. ISBN0-13-805326-X.

[landau-2] Landau, Lev (1980). The Classical Theory of Fields. Butterworth-Heinemann. 0750627689.

[1]

[2]

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 La definición más general e intuitiva acerca del campo eléctrico se la puede estudiar mediante la [[ley de Coulomb]]. Sin embargo, una definición más formal y completa acerca del campo requiere el uso de [[cuadrivector]]es y el [[principio de mínima acción]]. A continuación se describen ambas.
-=== Definición mediante la ley de Martinez ===
+=== Definición mediante la ley de Coulomb ===
 [[Archivo:Campo Electrico Distribucion Lineal.PNG|thumb|right|300px|Campo eléctrico de una distribución lineal de carga. Una carga puntual P es sometida a una fuerza en direccion radial <math>\vec u_r</math> por una distribucion de carga <math>\lambda</math> en forma de diferencial de linea (<math>dL</math>), lo que produce un campo eléctrico <math>d\vec E</math>.]]
 Partiendo de la [[ley de Coulomb]] que expresa que la interacción entre dos cargas depende del cuadrado de la distancia, matemáticamente es igual a:<ref name="griffiths"/>