Inductancia

En un Inductor o bobina, se denomina inductancia, $L$, a la relación entre el flujo magnético, $\mathbf {\Phi }$ y la intensidad de corriente eléctrica, $I$:

$L={\Phi \over I}$

El flujo que aparece en esta definición es el flujo producido por la corriente $I$ exclusivamente. No deben incluirse flujos producidos por otras corrientes ni por imanes situados cerca ni por ondas electromagnéticas.

Esta definición es de poca utilidad porque es difícil medir el flujo abrazado por un conductor. En cambio se pueden medir las variaciones del flujo y eso sólo a través del voltaje $V$ inducido en el conductor por la variación del flujo. Con ello llegamos a una definición de inductancia equivalente pero hecha a base de cantidades que se pueden medir, esto es, la corriente, el tiempo y la tensión:

$V_{L}=L{\Delta I \over \Delta t}$

El signo de la tensión y de la corriente son los siguientes: si la corriente que entra por la extremidad A del conductor, y que va hacia la otra extremidad, aumenta, la extremidad A es positiva con respecto a la opuesta. Esta frase también puede escribirse al revés: si la extremidad A es positiva, la corriente que entra por A aumenta con el tiempo.

La inductancia siempre es positiva, salvo en ciertos circuitos electrónicos especialmente concebidos para simular inductancias negativas.

De acuerdo con el Sistema Internacional de Medidas, si el flujo se expresa en weber y la intensidad en amperio, el valor de la inductancia vendrá en henrio (H).

Los valores de inductancia prácticos van de unos décimos de nH para un conductor de 1 milímetro de largo hasta varias decenas de miles de Henrios para bobinas hechas de miles de vueltas alrededor de núcleos ferromagnéticos.

El término "inductancia" fue empleado por primera vez por Oliver Heaviside en febrero de 1886, mientras que el símbolo $L$ se utiliza en honor al físico Heinrich Lenz.

Formalismo General

Inductancia Mutua Como se verá a continuación, la inductancia (mutua y autoinductacia) es una característica de los circuitos que depende de la geometría de los mismos. Sean dos circuitos arbitrarios descritos por las curva $\gamma _{1}$ y $\gamma _{2}$ por donde circulan corrientes $I_{1}$ y $I_{2}$, respectivamente. De ahora en más el subíndice 1 representa magnitudes correspondientes circuito 1 y análogamente para el circuito 2. En virtud de la Ley de Faraday se tiene

${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}({\vec {x}}_{1})=-{\frac {\partial {\vec {B}}({\vec {x}}_{1})}{\partial t}}$

donde ${\vec {E}}({\vec {x}}_{1})$ es el campo eléctrico y ${\vec {B}}({\vec {x}}_{1})$ es el campo mangético en el circuito 1. Si ahora se toma el flujo a través del área encerrada $S_{1}$ por el circuito 1,

$\int _{S_{1}}{\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}({\vec {x}}_{1})\cdot {\vec {da_{1}}}=-\int _{S_{1}}{\frac {\partial {\vec {B}}({\vec {x}}_{1})}{\partial t}}\cdot {\vec {da_{1}}}$

y usando el Teorema de Stokes para la integral del lado izquierdo se obtiene la fem $\epsilon _{1}$ para el circuito 1:

$\oint _{\gamma _{1}}{\vec {E}}({\vec {x}}_{1})\cdot {\vec {ds_{1}}}=\epsilon _{1}=-\int _{S_{1}}{\frac {\partial {\vec {B}}({\vec {x}}_{1})}{\partial t}}\cdot {\vec {da_{1}}}$

Es conveniente usar que ${\vec {B}}({\vec {x}}_{1})={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}({\vec {x}}_{1})$, donde ${\vec {A}}({\vec {x}})$ es el potencial vectorial para reescribir lo anterior como

$\epsilon _{1}=-\int _{S_{1}}{\vec {\nabla }}\times {\frac {\partial {\vec {A}}({\vec {x}}_{1})}{\partial t}}\cdot {\vec {da_{1}}}$

En este punto se debe hacer una simplificación: se supondrá que el circuito no cambia en el tiempo, con lo cual la derivada parcial puede salir fuera de la integral. Esto permite entonces aplicar nuevamente el Teorema de Stokes. Matemáticamente:

$\epsilon _{1}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{S_{1}}{\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}({\vec {x}}_{1})\cdot {\vec {da_{1}}}$ $\epsilon _{1}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\oint _{\gamma _{1}}{\vec {A}}({\vec {x}}_{1})\cdot {\vec {ds_{1}}}$

Dado que ${\vec {A}}({\vec {x}})={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}c^{2}}}\int _{V}{\frac {{\vec {J}}({\vec {x}}')}{|{\vec {x}}-{\vec {x}}'|}}d^{3}x'$ en el gauge ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}=0$ donde ${\vec {J}}({\vec {x}})$ es la densidad de corriente que genera el campo magnético ${\vec {B}}$. En este caso la densidad de corriente corresponde a la del circuito 2, por lo que ${\vec {A}}({\vec {x}}_{1})={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}c^{2}}}\int _{V}{\frac {{\vec {J}}({\vec {x}}_{2})}{|{\vec {x}}_{1}-{\vec {x}}_{2}|}}d^{3}x_{2}$. En caso que la densidad de corriente corresponda a una curva y no a un volumen en el espacio es lícito reescribir el potencial vectorial como ${\vec {A}}({\vec {x}}_{1})={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}c^{2}}}\oint _{\gamma _{2}}{\frac {I_{2}}{|{\vec {x}}_{1}-{\vec {x}}_{2}|}}{\vec {ds_{2}}}$. Luego, reemplazando esta última igualdad en la expresión anterior se tiene

$\epsilon _{1}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\oint _{\gamma _{1}}{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}c^{2}}}\oint _{\gamma _{2}}{\frac {I_{2}}{|{\vec {x}}_{1}-{\vec {x}}_{2}|}}{\vec {ds_{2}}}\cdot {\vec {ds_{1}}}$

Dado que se ha supuesto que los circuitos no se modifican en el tiempo sólo $I_{2}$ se ve afectada por la derivada temporal, con lo que

$\epsilon _{1}=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}c^{2}}}\oint _{\gamma _{1}}\oint _{\gamma _{2}}{\frac {{\vec {ds_{2}}}\cdot {\vec {ds_{1}}}}{|{\vec {x}}_{1}-{\vec {x}}_{2}|}}{\frac {\partial I_{2}}{\partial t}}$

El anterior razonamiento se puede repetir para el circuito 2 dando como resultado

$\epsilon _{2}=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}c^{2}}}\oint _{\gamma _{2}}\oint _{\gamma _{1}}{\frac {{\vec {ds_{1}}}\cdot {\vec {ds_{2}}}}{|{\vec {x}}_{2}-{\vec {x}}_{1}|}}{\frac {\partial I_{1}}{\partial t}}$

Claramente las constantes que acompañan a las derivadas temporales en ambos casos son coeficientes que sólo dependen de la geometría de los circuitos y además son iguales. Luego se llama inductancia mutua, $M$ a dicha constante

$M=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}c^{2}}}\oint _{\gamma _{1}}\oint _{\gamma _{2}}{\frac {{\vec {ds_{2}}}\cdot {\vec {ds_{1}}}}{|{\vec {x}}_{1}-{\vec {x}}_{2}|}}$

Autoinductancia

Para calcular la autoinductancia se puede proceder con el razonamiento anterior. A pesar de esto surge un problema: la doble integral no se hace sobre circuitos distintos sino sobre el mismo dando lugar a divergencia cuando ${\vec {x}}_{2}={\vec {x}}_{1}$. Dicho problema puede ser resuelto si en la integral se usa la expresión general para ${\vec {A}}({\vec {x}})={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}c^{2}}}\int _{V}{\frac {{\vec {J}}({\vec {x}}')}{|{\vec {x}}-{\vec {x}}'|}}d^{3}x'$ para puntos muy cercanos entre sí. Esta proximidad entre puntos permite hacer aproximación con las cuales se puede resolver la integral.

No obstante existen casos donde la autoinductancia se calcula trivialmente como por ejemplo el solenoide ideal: si $\phi _{M}$ es el flujo magnético, por Ley de Faraday se tiene

$\epsilon _{1}=-{\frac {d\phi _{M}}{dt}}$

Dado que el campo constante en el solenoide es constante y dado por $|{\vec {B}}|=\mu _{0}NI$, con $N$ el número de vueltas, $l$ el largo del solenoide e $I$ la corriente que pasa el mismo, se tiene

$\epsilon _{1}=-NA{\frac {dB}{dt}}=-{\frac {\mu _{0}N^{2}A}{l}}{\frac {dI}{dt}}$

donde $L={\frac {\mu _{0}N^{2}A}{l}}$ es la autoinductancia. El valor de la inductancia viene determinado exclusivamente por las características geométricas de la bobina y por la permeabilidad magnética del espacio donde se encuentra. Si el solenoide tiene un núcleo de permeabilidad distinta de vacío, la inductancia, de acuerdo con las ecuaciones de Maxwell, viene determinada por:

$L={\frac {\mu N^{2}A}{l}}$

donde $\mu$ es la permeabilidad absoluta del núcleo (el producto entre la permeabilidad del aire y la permeabilidad relativa del material) $N$ es el número de espiras, $A$ es el area de la sección transversal del bobinado y $l$ la longitud de las líneas de flujo.

El cálculo de $l$ es bastante complicado a no ser que la bobina sea toroidal y aún así, resulta difícil si el núcleo presenta distintas permeabilidades en función de la intensidad que circule por la misma. En este caso, la determinación de $l$ se realiza a partir de las curvas de imantación.

Acoplamiento magnético

Cuando el flujo magnético de una bobina alcanza a otra, se dice que ambas bobinas están acopladas magnéticamente. Este acoplamiento a menudo es no deseado, pero en ocasiones es aprovechado, como ocurre por ejemplo en los transformadores. En bobinas acopladas, existen dos tipos de inductancia: la debida al flujo de una bobina sobre otra, denominada inductancia mutua, y la debida al propio flujo, denominada autoinductancia. Así, en el caso de dos bobinas se tendría:

$L_{11}$ - autoinductancia de la bobina 1

$L_{22}$ - autoinductancia de la bobina 2

$L_{12}=L_{21}$ - inductancias mutuas

Para diferenciar la autoinductancia de la inductancia mutua, se suelen designar con $L$ y $M$ respectivamente.