Acción (matemática)

Una acción de un grupo $(G,*)$ sobre un conjunto $X$ es una aplicación $\phi :G\times X\to X$ que cumple:

1. $\forall x\in X,\ \phi (e,x)=x$donde $e$ es el elemento neutro del grupo.
2. $\forall x\in X,\,g,h\in G,\ \phi (g*h,x)=\phi (g,\phi (h,x))$.

Estas dos condiciones implican que, para cada elemento $g$ de $G$, la aplicación $\phi (g,\cdot ):X\to X$ es una función biyectiva. Otra posible definición, que se deriva de esto, es que una acción es un homomorfismo de grupos

$\phi :G\to \{{\mbox{funciones biyectivas }}X\to X\}$.

Notación alternativa

Otra notación utilizada para las acciones es $(g,x)\mapsto g\bullet x$. Así los axiomas de acción se reescriben:

• 1. $e\bullet x=x$
  2. $(gh)\bullet x=g\bullet (h\bullet x)$

Ejemplos

Ejemplo: El ejemplo más sencillo es la representación trivial: para cualquier $g\in G$ y $x\in X$, $\phi (g,x)=x$.

Ejemplo: El grupo de tres elementos $Z_{3}=\{0,1,2\}$ actúa sobre el plano complejo $\mathbb {C}$ de la siguiente manera:

• $\phi (0,x)=x$
• $\phi (1,x)=wx$
• $\phi (2,x)=w^{2}x$

donde $w$ es una raíz cúbica de la unidad (si tomamos la raíz $w=1$ la representación es trivial).

Un tipo importante de acción es aquella en la que $X$ es un espacio vectorial. Este tipo de acciones son el punto de partida de la teoría de la representación.

Tipos de acción

• Una acción de un grupo se llama transitiva, o se dice que el grupo actúa transitivamente sobre un conjunto $X$, si dados dos elementos $x$ e $y$ cualesquiera del conjunto $X$, existe un elemento $g$ del grupo que aplica el $x$ en $y$, es decir:$\exists g\in G:\phi (g,x)=y$.

Órbitas y estabilizadores

Con una acción de un grupo G en un conjunto X uno tiene los siguientes conceptos: para cada $\xi \in X$ tenemos el estabilizador de $\xi$

$St(\xi )=\{g\in G\ :\ g\bullet \xi =\xi \}$

y que son los elementos del grupo que actúan trivialmente sobre el elemento $\xi$. Es un subgrupo de G y también es llamado subgrupo de isotropía que no necesariamente es un subgrupo normal.

Y para el mismo $\xi$, la órbita:

$Orb(\xi )=\{x\in X\ :\ g\bullet \xi =x,\exists g\in G\}$

que son los elementos del conjunto X que se alcanzan desde $\xi$ por la acción de G

Con estos dos conceptos tenemos

• Hay una biyección $Orb(\xi )\to G/St(\xi )$
• Las diferentes órbitas forman una partición de X
• Si $\eta \in Orb(\xi )$ entonces $St(\eta )=gSt(\xi )g^{-1}\,$, donde $g\bullet \xi =\eta$.

Ecuación de clase

Bajo estas circunstancias tenemos la descomposición orbital

$X=\bigsqcup _{j}Orb(\xi _{j})$

que es una unión disjunta. Por lo que

$\#X=\sum _{j}\#Orb(\xi _{j})$

Además de que los números $\#Orb(\xi _{j})=\#(G/St(\xi _{j}))=[G:St(\xi _{j})]$, siendo estos últimos los índices de los subgrupos $St(\xi _{j})\,$. Por lo que uno obtiene la proto-ecuación de clase (ecuación de clase):

$\#X=\sum _{j}[G:St(\xi _{j})]$

Un caso especial de esta fórmula es cuando el grupo G actúa sobre si mismo por conjugación: $g\bullet x=gxg^{-1}$ y con ésta uno obtiene la maquinaria efectiva para demostrar algunos resultados para los grupos finitos: el teorema de Cauchy y los teoremas de Sylow.

Referencias

• Herstein
• Lang
• Hall
• Burnside
• Kurosch
• Gallian
• Dorronsoro