Movimiento armónico simple

La pelota azul describe un movimiento armónico simple.

El movimiento armónico simple (se abrevia m.a.s.) es un movimento periódico que queda descrito en función del tiempo por una función armónica (seno o coseno). Si la descripción de un movimiento requiriese más de una función armónica, en general sería un movimiento armónico, pero no un m.a.s..

En el caso de que la trayectoria sea rectilínea, la partícula que realiza un m.a.s. oscila alejándose y acercándose de un punto, situado en el centro de su trayectoria, de tal manera que su posición en función del tiempo con respecto a ese punto es una sinusoide. En este movimiento, la fuerza que actúa sobre la partícula es proporcional a su desplazamiento respecto a dicho punto y dirigida hacia éste.

Cinemática del movimiento armónico simple

Posición (negro), velocidad (verde) y aceleración (rojo) de un oscilador armónico simple

Ecuación del movimiento

Elongación

En un movimiento armónico simple la magnitud de la fuerza ejercida sobre la partícula es directamente proporcional a su elongación, esto es la distancia $x$ a la que se encuentra ésta respecto a la posición de equilibrio. En un desplazamiento a lo largo del eje Ox, tomando el origen O en la posición de equilibrio, esta fuerza es tal que $F_{x}=-kx\,$ donde $k\,$ es una constante positiva y $x\,$ es la elongación. El signo negativo indica que en todo momento la fuerza en sentido que actúa sobre la partícula está dirigida hacía la posición de equilibrio, esto es, en sentido contrario a su elongación (le "empuja" hacia la posición de equilibrio).

Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armónico simple se define entonces en una dimensión mediante la ecuación diferencial

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx$

Siendo $\scriptstyle m$ la masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendo $\scriptstyle \omega ^{2}=k/m$ se obtiene la siguiente ecuación donde $\omega$ es la frecuencia angular del movimiento:

(*)${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=a(t)=-\omega ^{2}x$

La solución de la ecuación diferencial (*) puede escribirse en la forma

$x(t)=A\sin(\omega t+\phi )\qquad A,\omega \in \mathbb {R} ^{+},\phi \in [0,2\pi )$

donde:

$x\,$ es la elongación de la partícula.

$A\,$ es la amplitud del movimiento (elongación máxima).

$\omega \,$ es la frecuencia angular

$t\,$ es el tiempo.

$\phi \,$ es la fase inicial e indica el estado de oscilación o vibración (o fase) en el instante t = 0 de la partícula que oscila.

Además, la frecuencia de oscilación puede escribirse como

$f={\frac {\omega }{2\pi }}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}$, y por lo tanto el periodo como $T={\frac {1}{f}}={\frac {2\pi }{\omega }}=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}$

La velocidad y aceleración de la partícula pueden obtenerse derivando respecto del tiempo la expresión $x(t)=A\sin(\omega t+\phi )\,$.

Velocidad

La velocidad se obtiene derivando la ecuación de la posición obtenida en el apartado anterior respecto al tiempo:

(2)$v(t)={\frac {dx(t)}{dt}}=\omega A\cos(\omega t+\phi )\qquad$

Aceleración

La aceleración es la variación de la velocidad respecto al tiempo y se obtiene por lo tanto derivando la ecuación de la velocidad respecto al tiempo:

(3)$a(t)={\frac {dv(t)}{dt}}=-\omega ^{2}A\,\sin(\omega t+\phi )=-\omega ^{2}x(t)$

Amplitud y fase inicial

La amplitud $A$ y la fase inicial $\phi \,$ se pueden calcular a apartir de las condiciones iniciales del movimento, esto es de los valores de la elongación $x_{0}$ y de la velocidad $v_{0}$ iniciales.

(4a)$x_{0}=A\cos \phi \qquad \Rightarrow \qquad x_{0}^{2}=A^{2}\cos ^{2}\phi$

(4b)$v_{0}=-\omega A\sin \phi \qquad \Rightarrow \qquad v_{0}^{2}=\omega ^{2}A^{2}\sin ^{2}\phi \qquad \Rightarrow \qquad {\frac {v_{0}^{2}}{\omega ^{2}}}=A^{2}\sin ^{2}\phi$

Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones (4a) y (4b) obtenemos

(5)$x_{0}^{2}+{\frac {v_{0}^{2}}{\omega ^{2}}}=A^{2}(\cos ^{2}\phi +\sin ^{2}\phi )=A^{2}\qquad \Rightarrow \qquad A={\sqrt {x_{0}^{2}+{\frac {v_{0}^{2}}{\omega ^{2}}}}}$

Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones (4b) y (4a) obtenemos

${\frac {v_{0}}{x_{0}}}={\frac {-\omega A\sin \phi }{A\cos \phi }}=-\omega \tan \phi \qquad \Rightarrow \qquad \phi =\arctan \left(-{\frac {v_{0}}{\omega x_{0}}}\right)$

Energía del movimiento armónico simple

Las fuerzas involucradas en un movimiento armónico simple son fuerzas conservativas y centrales. Por tanto, se puede definir un campo escalar llamado energía potencial (E_p) asociado a la fuerza, de tal manera que su suma con la energía cinética (E_c) permanezca invariable a lo largo del desplazamiento:

$E_{p}+E_{c}=E_{m}\,$

Esta última magnitud $E_{m}$ recibe el nombre de energía mecánica. Para hallar la expresión de la energía potencial, basta con integrar la expresión de la fuerza (esto es extensible a todas las fuerzas conservativas) y cambiarla de signo, obteniéndose:

(6)$E_{p}={\frac {1}{2}}kx^{2}$

La energía potencial, como la fuerza, alcanza su máximo en los extremos de la trayectoria (cuando hace parar a la partícula y reiniciar la marcha en sentido contrario) y, también como la fuerza, tiene valor nulo (cero) en el punto x = 0, es decir el punto central del movimiento.

Finalmente, al ser la energía mecánica constante, puede calcularse fácilmente considerando los casos en los que la velocidad de la partícula es nula y por lo tanto la energía potencial es máxima, es decir, en los puntos $x=-A$ y $x=A$. Se obtiene entonces que,

$E_{m}=E_{p}+E_{c}={\frac {1}{2}}kA^{2}$

Ejemplos

Medición de masa en ingravidez

En condiciones de ingravidez no es posible medir la masa de un cuerpo a partir de su peso. Sin embargo, se puede recurrir al principio del movimiento armónico simple para realizar tal medición.

Para ello se instaló en la estación espacial Skylab un dispositivo (experimento M172​) destinado a medir la masa de los tripulantes consistente en una silla oscilante capaz de medir su periodo de oscilación $T$ electrónicamente. A partir de este dato, y conociendo la constante de fuerza del resorte unido a la silla, es posible entonces calcular la masa del individuo:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}\quad \Rightarrow \quad m=\left({\frac {T}{2\pi }}\right)^{2}k$

Véase también

• Péndulo
• Péndulo simple
• Péndulo físico
• Oscilador armónico
• Movimiento circular uniforme
• Movimiento armónico complejo

Bibliografía

• Marion, Jerry B. (1996). Dinámica clásica de las partículas y sistemas. Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4094-8. 
• Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Física (4 volúmenes). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7. 
• Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en inglés). New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32057-9. 

Enlaces externos

• [ttp://www.uco.es/~fa1orgim/fisica/docencia/index.html Física Universitaria.] (en español) Abundante información para el nivel de la Física Universitaria. Incluye textos y animaciones.
• Curso Interactivo de Física en Internet. Ángel Franco García.