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Una esfera, en geometría, es un cuerpo sólido limitado por una superficie curva cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro de la esfera. También se denomina esfera, o superficie esférica, a la conformada por los puntos del espacio tales que la distancia (llamada radio) a un punto denominado centro, es siempre la misma.

La esfera, como sólido de revolución, se genera haciendo girar una superficie semicircular alrededor de su diámetro (Euclides, L. XI, def. 14).

Esfera proviene del término griego σφαῖρα, sphaîra, que significa pelota (para jugar). Coloquialmente hablado, se emplean palabras como bola, globo (globo terrestre), etc., para describir un volumen esférico.

Área y volumen

El área de una superficie esférica de radio r, es:

$A=4\pi r^{2}\,$

El volumen de una esfera de radio r, es:

$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

Ecuación cartesiana

En un sistema de coordenadas cartesianas en un espacio euclídeo tridimiensional, la ecuación de la esfera unitaria (de radio 1), con centro en el origen, es:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\,$

Esta ecuación se obtiene considerando que en el punto M (x, y, z) de la esfera, el vector normal OM es igual a 1.

Generalizando, la esfera de radio r, de centro Ω (a, b, c) tiene como ecuación:

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}\,$

La ecuación del plano tangente en el punto M (x', y', z') se obtiene mediante el desdoblamiento de las variables: en el caso de la esfera unitaria:

$x\cdot x'+y\cdot y'+z\cdot z'=0\,$

y en el segundo ejemplo:

$(x-a)\cdot x'+(y-b)\cdot y'+(z-c)\cdot z'=0\,$

Secciones

La intersección de un plano y una esfera siempre es un círculo. La esfera es el único volumen que tiene esta propiedad. Lógicamente, si el plano es tangente, el área de contacto queda reducido a un punto (puede considerarse el caso límite de la intersección).

Si el plano pasa por el centro de la esfera, el radio del círculo es el mismo que el de la esfera, r. En este caso, la circunferencia puede llamarse ecuador o círculo máximo.

Si la distancia d, entre el plano y el centro, es inferior al radio r de la esfera, aplicando el teorema de Pitágoras, el radio de la sección es:

r'={\sqrt {r^{2}-d^{2}}}

Por otra parte, dos esferas se intersectan si:

d\leq r+r'

y

r-r'\leq d

(son las desigualdades triangulares, y equivalen a que ningún lado es superior a la suma de los otros dos), es decir, si existe un triángulo con lados que midan r, r' y d, donde d es la distancia entre los centros de las esferas, r y r' sus radios.

En tal caso, la intersección es también una circunferencia. Cuando una de las desigualdades anteriores es una igualdad, la intersección será un punto, que equivale a una circunferencia de radio cero.

En general, el radio es:

{\frac {2}{d}}{\sqrt {m(m-r)(m-r')(m-d)}}\quad {\mbox{ con }}\quad m={\frac {r+r'+d}{2}}

el medio perímetro.

Coordenadas sobre la esfera

Para localizar un punto de la superficie esférica, las coordenadas cartesianas no son las más adecuadas, por varias razones: en primer lugar, porque hay tres coordenadas cartesianas, mientras que la superficie esférica es un espacio bidimensional. En segundo lugar, tratándose de una esfera, el ángulo es un concepto más adecuado que las coordenadas ortogonales.

Se elige un ecuador y un punto I del mismo como origen de los ángulos horizontales; se escoge una orientación del ecuador para definir el signo del ángulo φ; se escoge uno de los dos puntos de la esfera más distantes del ecuador –llamados polos, K en la figura– para definir el signo del ángulo θ.

Todo punto de la esfera está localizado de manera inequívoca por los dos ángulos θ y φ. Este resultado es muy intuitivo: con un ángulo sobre el plano horizontal (plano del ecuador) y otro vertical (hacia un polo) desde el punto I, se puede localizar cualquier punto de la esfera.

En geometría, normalmente, se expresan estos ángulos en radianes (pues permite calcular longitudes de arcos de circunferencia), mientras que en geografía se usan los grados sexagesimales o centesimales: en este caso, θ es la latitud del punto y φ su longitud si se toma I en el punto del ecuador del meridiano de Greenwich y K en el polo norte. Las latitudes positivas corresponden al hemisferio norte, y longitudes positivas al hemisferio Este (véase M en la figura).

Introducir el tercer parámetro r = OM permite localizar cualquier punto del espacio con las coordenadas esféricas (r, φ, θ). Si se impone tomar φ en un intervalo semi-abierto de longitud 2π y θ en uno de longitud π, entonces, cualquier punto del espacio tiene coordenadas esféricas únicas, salvo los del eje vertical (OK) (donde cualquier valor de φ vale).

Las coordenadas cartesianas (x, y, z) en el sistema de coordenadas (0, I, J, K) vienen dadas por:

\left\{{\begin{matrix}x&=&r\cos \theta \;\cos \phi \\y&=&r\cos \theta \;{\mbox{sen }}\phi \\z&=&r{\mbox{sen }}\theta \end{matrix}}\right.\qquad {\mbox{con }}-{\frac {\pi }{2}}<\theta \leq {\frac {\pi }{2}},\ \ {\mbox{  y  }}\ \ -\pi <\phi \leq \pi

Recíprocamente, a partir de las coordenadas cartesianas, se obtienen las esféricas con las fórmulas:

\left\{{\begin{matrix}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\neq 0\\\theta ={\mbox{ arcsen }}{\frac {z}{r}}={\mbox{ arcsen }}{\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\\\phi ={\mbox{ arcsen }}{\frac {y}{r\cos \theta }}=2{\mbox{ arcsen }}{\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}\end{matrix}}\right.

Generalizaciones de la esfera

Esferas en dimensiones superiores

Se puede generalizar la noción de esfera en espacios vectoriales de dimensiones superiores a tres. A partir de la cuarta dimensión ya no es representable gráficamente, pero la definición sigue siendo que la esfera es el conjunto de los puntos equidistantes de un punto fijo. En un espacio euclídeo de cuatro dimensiones, usando un sistema de coordenadas cartesianas la ecuación de la esfera de radio 1 centrada en el origen es:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}=1\,$

donde t es la cuarta coordenada. Análogamente en un espacio euclídeo de n dimensiones:

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1$

Y para una esfera de radio r, y centro (c₁, c₂, ..., c_n):

$(x_{1}-c_{1})^{2}+(x_{2}-c_{2})^{2}+(x_{3}-c_{3})^{2}+\cdots +(x_{n}-c_{n})^{2}=r^{2}$

El volumen de la esfera contenida en la superficie anterior, en dimensión n se calcula por inducción sobre n. Aquí están los diez primeros valores de V_n(r) y las superficies correspondientes:

Dimensión	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Volumen	2r	πr²	4πr³ 3	π²r⁴ 2	8π²r⁵ 15	π³r⁶ 6	16π³r⁷ 105	π⁴r⁸ 24	32π⁴r⁹ 945	π⁵r¹⁰ 120
Superficie	2	2πr	4πr²	2π²r³	8π²r⁴ 3	π³r⁵	16π³r⁶ 15	π⁴r⁷ 3	32π⁴r⁸ 105	π⁵r⁹ 12

El volumen de la bola alcanza su máximo en dimensión 5, mientras que la superficie de la esfera lo alcanza en dimensión 7.

Existe la posibilidad de representar una n-esfera o hiperesfera de n dimensiones como fibrado de otra hiperesfera de dimensión inferior. Esto sólo sucede en tres casos:

$S^{3}\;$ , puede ser representada como fibrado no trivial con espacio base $S^{2}\;$ y fibra $S^{1}\;$ , esta construcción puede obtenerse a partir de una construcción geométrico-algebraica utilizando números complejos.
$S^{7}\;$ , puede ser representada como fibrado no trivial con espacio base $S^{4}\;$ y fibra $S^{3}\;$ , esta construcción puede obtenerse a partir de una construcción geométrico-algebraica utilizando números cuaterniónicos.
$S^{15}\;$ , puede ser representada como fibrado no trivial con espacio base $S^{8}\;$ y fibra $S^{7}\;$ , esta construcción puede obtenerse a partir de una construcción geométrico-algebraica utilizando números octoniónicos.

Para dimensión superior no existen otros casos en que esto sea posible.^[1]

Esferas en otras métricas

La noción de esfera se generaliza a cualquier espacio métrico (E,d) así: la esfera de centro a y de radio r es el conjunto S(a, r) = {xεE, d(a, x) = r }, y la bola correspondiente es B(a, r) = {xεE, d(a, x) ≤ r}.

Para no ser demasiado general, restrinjámonos al espacio real tridimensional, con distancias provenientes de distintas normas, y consideramos las esferas unitarias.

Para un vector u(x, y, z) cualquiera, se definen las normas siguientes:

||u||₁ = |x| + |y| + |z|. S(O,1) es un octaedro regular (figura a la derecha).

||u||₂ = √(x² + y² + z²). Se trata de la norma euclidiana, luego S(O,1) es la esfera usual.

||u||₃ = ³√(|x|³ + |y|³ + |z|³). S(0,1) es una especie de forma intermedia entre la esfera usual y el cubo (figura a la izquierda). ||u||_∞ = max(|x|,|y|,|z|). S(0,1) es un cubo.

Esferas en topología

Cabe tener presente que el concepto geométrico y el concepto topológico de "n-esfera" no coinciden. En geometría, la superficie de la esfera es llamada 3-esfera, mientras que los topólogos se refieren a ella como 2-esfera y la indican como $S^{2}\;$ .^[2]

Esferas en física

La esfera es la figura geométrica que para igual volumen presenta la superficie externa menor. Esta propiedad es la causa de su omnipresencia en el mundo físico: en una gota de un líquido inmerso en un ambiente gaseoso, o entre líquidos no solubles de diferente densidad, existen fuerzas superficiales que deformarán la gota hasta encontrar el valor mínimo de tensión en todos los puntos de la misma, y este corresponde a una esfera, en ausencia de toda perturbación exterior.

Referencias

↑ R. Penrose: El camino de la realidad, Ed. Debate, Barcelona, 2006, p. 464, ISBN 84-8306-681-5.
↑ Sphere (Wolfram Maths)

Véase también

Enlaces externos

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[1] R. Penrose: El camino de la realidad, Ed. Debate, Barcelona, 2006, p. 464, ISBN 84-8306-681-5.

[2] Sphere (Wolfram Maths)

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 {{Otros usos}}
 Una '''esfera''', en [[geometría]], es un cuerpo [[sólido]] limitado por una [[superficie (matemática)|superficie]] curva cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro de la esfera. También se denomina esfera, o '''superficie esférica''', a la conformada por los puntos del [[espacio]] tales que la distancia (llamada ''radio'') a un punto denominado centro, es siempre la misma.