Anillo (matemática)

En álgebra, un anillo es una estructura algebraica formada por un conjunto y dos operaciones que están relacionadas entre sí mediante la propiedad distributiva, de manera que generalizan las nociones de número, especialmente en el sentido de su "operabilidad".

Definición

Sea $A$ un conjunto, y sean $+$ y $\cdot$ dos operaciones binarias. Se dirá que la terna $(A,+,\cdot )$ es un anillo si se cumplen las siguientes propiedades:

$(A,+)$ es un grupo abeliano, esto es, se cumple que:

1. $\forall a,b\in A,a+b\in A$ (clausura).
2. $\forall a,b\in A,a+b=b+a$ (conmutatividad).
3. $\forall a,b,c\in A,a+(b+c)=(a+b)+c$ (asociatividad).
4. $\exists 0\in A$, tal que $\forall a\in A,0+a=a+0=a$ (elemento neutro).
5. $\forall a\in A,\exists b\in A$ tal que $a+b=b+a=0$. Al elemento $b$ se le llama opuesto de $a$, y se le denota usualmente por $-a$, de modo que la propiedad anterior se anota también como $a+(-a)=(-a)+a=0$ (elemento inverso).

$(A,.)$ cumple que:

1. $\forall a,b,c\in A,a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$ (asociatividad).
2. $\forall a,b,c\in A,a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\quad$ y $\quad (b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a$ (propiedad distributiva de $\cdot$ respecto de $+$).

$(A,+)\,\!$ y $(A,\cdot )$ se les denomina la suma y el producto, respectivamente, del anillo $A\,\!$. Asimismo, al neutro de la suma suele denominársele cero del anillo.

• Leyes de simplificación: Si $a\neq 0$, se dice que se verifican las leyes de simplificación: si $a\cdot b=a\cdot c$ implica que $b=c\,\!$; de la misma forma, $b\cdot a=c\cdot a$ implica que $b=c\,\!$.

Elementos destacados en un anillo

• Elemento cero: denotado por 0. Es el neutro para la suma.

• Elemento unitario: si un elemento, que denotamos 1, cumple $1\cdot a=a\cdot 1=a$ para todo elemento a del anillo, se llama elemento unitario.

El elemento cero y el elemento unitario sólo coinciden en el caso de que el anillo sea trivial ( {0} ), debido a la propiedad distributiva.

• Inverso multiplicativo: si estamos en un anillo que posea un elemento unitario, $b$ es inverso multiplicativo por la izquierda (o sencillamente inverso por la izquierda) de $a$ si $b\cdot a=1$. Así mismo, $c$ es inverso multiplicativo por la derecha (o sencillamente inverso por la derecha) de $a$ si $a\cdot c=1$. Un elemento $a^{-1}$ se dirá que es inverso multiplicativo (o sencillamente inverso) de $a$ si $a^{-1}$ es inverso por la izquierda de $a$ e inverso por la derecha de $a$, es decir, $a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=1$.

Si existe el inverso de un elemento, entonces es único (lo que justifica llamarlo el inverso).

• Elemento inversible, o elemento invertible o unidad: es todo aquel elemento que posee inverso multiplicativo.

• Divisor del cero: un elemento $a\neq 0$ es divisor del cero por la izquierda, si existe algún b distinto de 0, tal que a·b=0. Lo es por la derecha si existe un c distinto de 0 tal que c·a=0. Se dirá que a es divisor del cero, si lo es tanto por la derecha como por la izquierda.

• Elemento regular: un elemento $a\neq 0$ de un anillo es regular si no es divisor de cero. Todo elemento invertible es regular.

• Elemento idempotente: es cualquier elemento $e$ del anillo que al multiplicarse por sí mismo no varía, es decir, tal que $e\cdot e=e$ (esto se suele escribir como $e^{2}=e$). El cero es siempre idempotente en un anillo, y si el anillo es unitario, también el 1 es idempotente.

• Elemento nilpotente (o nihilpotente): es cualquier elemento $x$ del anillo para el que existe un número natural $n$ de forma que $x^{n}=0$ (donde $x^{n}$ se define por recurrencia: $x^{0}=1$, $x^{n}=x\cdot x^{n-1}$). El 0 es siempre un nilpotente de cualquier anillo. Todo elemento nilpotente es divisor de cero.

Algunos tipos importantes de anillos

• Anillo conmutativo: aquel en el que el producto es conmutativo, esto es, a·b=b·a para todos a y b (no debe confundirse con anillo abeliano).

• Anillo unitario: aquel que posee un elemento unitario y además, éste es distinto del neutro de la suma.

• Anillo de división: es el anillo en el cual todo elemento, a excepción del 0, tiene inverso.

• Anillo con leyes de simplificación: aquel en el que se cumplen las leyes de simplificación. Si un anillo no tiene divisores del cero, se cumplen las leyes de simplificación, y el recíproco también es cierto.

• Dominio de integridad: si un anillo no posee divisores del cero, es un dominio de integridad (a menudo se suele exigir que además se trate de anillos conmutativos y unitarios, pero esta exigencia no es aceptada por todos los autores).

• Cuerpo: se trata de un anillo de división conmutativo.

• Anillo abeliano: es un anillo en el que todo elemento idempotente pertenece al centro del anillo, es decir, todo elemento idempotente conmuta con cualquier elemento del anillo.

Subconjuntos notables

Subanillos e ideales

Un subanillo $S$ de un anillo $R$ =(A,+,·) es un subconjunto $S\subset R$ que cumple que es cerrado para la suma y la multiplicación en el anillo, esto es, si $a,b\in S$, entonces $a+b\in S$ y $a\cdot b\in S$. Si $1\in R$ (es decir, si el anillo es unitario), entonces se exigirá además que $1\in S$. Nótese que en este caso, cuando el anillo es unitario, {0} no será subanillo de $R$, y sí lo será si $R$ no es unitario.

Un subanillo $S$ es propio cuando no coincide con todo el anillo, es decir, si $R\neq S$.

Resulta pues que un subanillo es un anillo dentro de otro anillo (para las mismas operaciones). En particular, $(S,+)$ es un subgrupo de $(R,+)$.

Pero en la Teoría de Anillos hay un tipo de subconjunto más notable aun que el de subanillo, el de ideal.

Un subconjunto $I\subset R$ es ideal por la izquierda de un anillo (A,+,·) si $(I,+)$ es subgrupo de $(R,+)$ y dados cualesquiera $r\in R$ y $x\in I$ se tiene que $r\cdot x\in I$.

Un subconjunto $I\subset R$ es ideal por la derecha de un anillo (A,+,·) si $(I,+)$ es subgrupo de $(R,+)$ y dados cualesquiera $r\in R$ y $x\in I$ se tiene que $x\cdot r\in I$.

Cuando un subconjunto I es ideal por la derecha e ideal por la izquierda se dice que es un ideal bilátero (del anillo), o simplemente que es un ideal (del anillo).

La propiedad conmutativa nos asegura que en todo anillo conmutativo todo ideal por la izquierda es ideal por la derecha, y todo ideal por la derecha es ideal por la izquierda, esto es, todos los ideales (por la izquierda o por la derecha) de un anillo conmutativo son ideales biláteros.

Un ideal $I$ (por la izquierda, por la derecha o bilátero) se dice que es propio si es distinto de todo el anillo, esto es, $I\neq R$.

Unidades

Al conjunto de elementos invertibles de un anillo unitario $(R,+,\cdot ,1_{R})$ se le llama conjunto de unidades (del anillo), y se le denota por $U(R)$.

Si $I$ es ideal (por la izquierda, por la derecha o bilátero) propio de un anillo unitario $U(R)$, entonces $I\cap U(R)=\varnothing$, esto es, ningún ideal propio tiene elementos invertibles. En particular, ningún ideal (por la izquierda, por la derecha o bilátero) propio tiene por elemento al 1, lo que impide a los ideales ser subanillos de anillos unitarios.

Centro

El centro de un anillo $(R,+,\cdot )$ (denotado por $Z(R)$) es el conjunto de elementos que conmutan para el producto, es decir $Z(R):=\{r\in R:r\cdot s=s\cdot r,\forall s\in R\}$. El centro de un anillo viene a ser como "la parte conmutativa del anillo". Nótese que siempre se tiene que $0\in Z(R)$. Los anillos conmutativos son aquellos que coinciden con su centro, i.e., $R=Z(R)$.

Homomorfismos de anillos.

Véase el artículo principal en homomorfismo de anillos.