Encaje (matemática)

En matemática, un encaje o inmersión (cf; embedding) es una instancia de alguna estructura matemática contenida dentro de otra instancia, tal como puede ser un grupo que es un subgrupo. Se define según la categoría que estemos hablando, por eso, podemos hablar de encajes topológicos, encajes algebraicos, encajes geométricos u otros.

Cuando algún objeto X se dice que es encajado en otro objeto Y, el encaje es dado por alguna función inyectiva que preserve su estructura f : X → Y. El significado preciso de «preservar estructura» depende del tipo de estructura matemática de las cuales X e Y son instancias. En terminología de la teoría de categorías, un mapa que preserva la estructura es llamado morfismo.

El hecho de que un mapa f : X → Y sea un encaje es a veces indicado por medio del uso de una «flecha enganchada», por lo tanto: $f:X\hookrightarrow Y.$ Por otro lado, esta notación es a veces reservada para inyecciones canónicas.

Dados X e Y, varios encajes diferentes de X en Y pueden ser posibles. En la mayoría de los casos de interés, hay un encaje estándar (o «canónico»), como aquellos de números naturales en los números enteros, los enteros en los números racionales, los números racionales en los números reales, y los números reales en los números complejos. En tales casos es común identificar el dominio X con sus imágenes f(X) contenidas en Y, de manera que X ⊆ Y.

Definición

Sean X,Y objetos de alguna categoría $\mathbf {C}$ . Un encaje de X en Y es un función $X\to Y$ la cual es un $\mathbf {C}$ -morfismo y es inyectivo, i.e. f es un $\mathbf {C}$ -monomorfismo.

Concepto asociado

Un espacio con frontera X se dice que está propiamente encajado en otro espacio Y con frontera si existe un encaje $f\colon X\to Y$ tal que la restricción $f|_{\partial X}\colon \partial X\to \partial Y$ también es un encaje.

Ejemplo

Si elegimos la categoría: topología, entonces un encaje es una aplicación continua e inyectiva entre espacios topológicos X, Y. Otra forma de enunciarlo es: f es un encaje, si existe $f:X\to Y$ una aplicación continua que hace que los conjuntos $X\,$ y $fX\,$ sean homeomorfos.

Véase también

Datos: Q980509