Efecto Doppler

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Un micrófono inmóvil registra las sirenas de los policías en movimiento en diversos tonos dependiendo de su dirección relativa.

El efecto Doppler, llamado así por el físico austríaco Christian Andreas Doppler, es el aparente cambio de frecuencia de una onda producida por el movimiento relativo de la fuente respecto a su observador. Doppler propuso este efecto en 1842 en su tratado Über das farbige Licht der Doppelsterne und einige andere Gestirne des Himmels (Sobre el color de la luz en estrellas binarias y otros astros).

El científico neerlandés Christoph Hendrik Diederik Buys Ballot investigó esta hipótesis en 1845 para el caso de ondas sonoras y confirmó que el tono de un sonido emitido por una fuente que se aproxima al observador es más agudo que si la fuente se aleja. Hippolyte Fizeau descubrió independientemente el mismo fenómeno en el caso de ondas electromagnéticas en 1848. En Francia este efecto se conoce como "efecto Doppler-Fizeau" y en los Países Bajos como el "efecto Doppler-Gestirne".

En el caso del espectro visible de la radiación electromagnética, si el objeto se aleja, su luz se desplaza a longitudes de onda más largas, desplazándose hacia el rojo. Si el objeto se acerca, su luz presenta una longitud de onda más corta, desplazándose hacia el azul. Esta desviación hacia el rojo o el azul es muy leve incluso para velocidades elevadas, como las velocidades relativas entre estrellas o entre galaxias, y el ojo humano no puede captarlo, solamente medirlo indirectamente utilizando instrumentos de precisión como espectrómetros. Si el objeto emisor se moviera a fracciones significativas de la velocidad de la luz, sí sería apreciable de forma directa la variación de longitud de onda.

Sin embargo hay ejemplos cotidianos de efecto Doppler en los que la velocidad a la que se mueve el objeto que emite las ondas es comparable a la velocidad de propagación de esas ondas. La velocidad de una ambulancia (50 km/h) puede parecer insignificante respecto a la velocidad del sonido al nivel del mar (unos 1.235 km/h), sin embargo se trata de aproximadamente un 4% de la velocidad del sonido, fracción suficientemente grande como para provocar que se aprecie claramente el cambio del sonido de la sirena desde un tono más agudo a uno más grave, justo en el momento en que el vehículo pasa al lado del observador.

Álgebra del efecto Doppler en ondas sonoras[editar]

Observador acercándose a una fuente[editar]

Imaginemos que un observador O se mueve con una velocidad  v_{o} \, que tiene una dirección y sentido hacia una fuente de sonido S que se encuentra en reposo. El medio es aire y también se encuentra en reposo. La fuente emite un sonido de velocidad V, frecuencia '''f''' \, y longitud de onda  \lambda \,. Por lo tanto, la velocidad de las ondas respecto del observador no será v \,, sino la siguiente:

 \ v' = v + v_{o}

Sin embargo, no debemos olvidar que como la velocidad del medio no cambia, la longitud de onda será la misma, por lo tanto, si:

 \ v = f \cdot \lambda \Rightarrow  f = \frac{v}{\lambda}

Pero como mencionamos en la primera explicación, el observador al acercarse a la fuente oirá un sonido más agudo, esto implica que su frecuencia es mayor. A esta frecuencia mayor captada por el observador se la denomina frecuencia aparente, que la denominamos f'.

 \ f' = \frac{v'}{\lambda} = \frac{v + v_{o}}{\lambda} = \frac{v}{\lambda} + \frac{ v_{o} }{\lambda} = f + \frac{v_{o} }{\lambda} = f \cdot \bigg(1 + \frac{v_{o} }{f \cdot \lambda}\bigg) = f \cdot \bigg( 1 + \frac{v_{o} }{v}\bigg)

El observador escuchará un sonido de mayor frecuencia debido a que  \bigg( 1 + \frac{v_{o} }{v}\bigg) \ge 1

Observador alejándose de una fuente[editar]

Analicemos el caso contrario: cuando el observador se aleja de la fuente, la velocidad será  v' = v - v_{o} \, y de manera superior usando el teorema de Pitágoras análoga podemos deducir que  f' = f \cdot \bigg( 1 - \frac{v_{o} }{v}\bigg)

Fuente acercándose al observador[editar]

En este caso la frecuencia aparente percibida por el observador será mayor que la frecuencia real emitida por la fuente, lo que genera que el observador perciba un sonido más agudo.

Por tanto, la longitud de onda percibida para una fuente que se mueve con una velocidad  v_{s}\, será:

 \mathcal \lambda ' = \lambda - \Delta \lambda

Como  \lambda = \frac{v}{f} podemos deducir que:

 f' = \frac{v}{\lambda '}= \frac{v}{\lambda - \frac{v_{s} }{f}} = \frac{v}{\frac{v}{f} - \frac{v_{s} }{f}} = f \cdot \bigg(\frac{v}{v - v_{s} }\bigg)

Fuente alejándose del observador[editar]

Haciendo un razonamiento análogo para el caso contrario: fuente alejándose; podemos concluir que la frecuencia percibida por un observador en reposo con una fuente en movimiento será:

 f' = f \cdot \Bigg( \frac{1}{1 \pm \frac{v_{s}}{v}} \Bigg)

Cuando la fuente se acerque al observador se pondrá un signo (-) en el denominador, y cuando la fuente se aleje se reemplazará por (+).

Al terminar de leer lo anteriormente expuesto surge la siguiente pregunta: ¿Qué pasará si la fuente y el observador se mueven al mismo tiempo?. En este caso particular se aplica la siguiente fórmula, que no es más que una combinación de las dos:

 f' = f \cdot \bigg( \frac{v \pm v_{o}}{v \mp v_{s}} \bigg)

El sentido del desplazamiento de la fuente y el observador son inversos:

Si la fuente de sonido se aleja del observador el denominador es positivo, pero si se acerca es negativo.

Si el observador se aleja de la fuente el numerador es negativo, pero si se aproxima es positivo. Se puede dar el caso de numerador y denominador sean una suma, y también de numerador y denominador sean una resta.

Ejemplo[editar]

Un observador se mueve a una velocidad de 42 m/s hacia un trompetista en reposo. El trompetista está tocando (emitiendo) la nota La (440 Hz). ¿Qué frecuencia percibirá el observador, sabiendo que  \ v_{\rm sonido} \, = 340 m/s

Solución: Si el observador se acerca hacia la fuente, implica que la velocidad con que percibirá cada frente de onda será mayor, por lo tanto la frecuencia aparente será mayor a la real (en reposo). Para que esto ocurra debemos aplicar el signo (+) en la ecuación.

 f' = f \cdot \bigg( 1 \pm \frac{v_{o} }{v} \bigg)

 f' = 440 \mathrm{Hz} \cdot \bigg( 1 + \frac{42 \mathrm{m/s} }{340 \mathrm{m/s}} \bigg) \rightarrow f' = 494,353 \mathrm{Hz}

En este caso particular, el trompetista emite la nota La a 440 Hz; sin embargo, el observador percibe una nota que vibra a una frecuencia de 494,353 Hz, que se aproxima altamente a la frecuencia perteneciente a la nota Si. Musicalmente hablando, el observador percibe el sonido con un tono más agudo del que se emite realmente.

Álgebra del efecto Doppler en ondas electromagnéticas[editar]

En el caso de ondas electromagnéticas la fórmula de efecto Doppler es:
f'=\gamma\frac{c+v}{c}f
Siendo f la frecuencia del emisor, f' la que ve el receptor, v la velocidad del emisor respecto al receptor y  \gamma el factor de Lorentz dado por:


\gamma  = \frac{1}{\sqrt{1 - \cfrac{v^2}{c^2}}}

Demostración[editar]

Para analizar el caso de las ondas electromagnéticas nos serviremos de las transformaciones de Lorentz para pasar del sistema de referencia emisor al receptor; denotaremos a las magnitudes primadas las del receptor y las sin primar las del emisor. Supondremos que la onda y el emisor se mueven hacia la derecha.

Supongamos que el emisor está emitiendo una onda de la forma:


\ \Phi (x,t)=\Phi (\omega  t-k x)

Las transformaciones de coordenadas serán:


\ x=\gamma(x'-vt')


t=\gamma(t'-\frac{vx'}{c^2})

Sustituyendo en la función de ondas y comparando con la función de onda en el sistema de referencia receptor:


\ \Phi (x,t)=\Phi (\omega  t-k x)=\Phi (\gamma(\omega +kv)t'-\gamma(\frac{v\omega }{c^2}+k)x')=\Phi ' (\omega 't'-k'x')

Obtenemos que:


\omega'=\gamma(\omega +kv)=\gamma\frac{c+v}{c}\omega

O en términos de las frecuencias:


f'=\gamma\frac{c+v}{c}f

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]