Cero elevado a cero

Cero elevado a cero (denotado $00$ ) es una expresión matemática que se define como 1 o se deja indefinida, dependiendo del contexto. En álgebra y combinatoria, se suele definir como 1. En análisis matemático, a veces no se define. Los lenguajes de programación y los programas de ordenador también tienen formas diferentes de tratar esta expresión.

Exponentes enteros[editar]

Muchas fórmulas ampliamente utilizadas que implican exponentes de números naturales requieren que $00$ se defina como $1$ . Por ejemplo, las tres interpretaciones siguientes de $b 0$ tienen tanto sentido para $b = 0$ como para los enteros positivos $b$ :

La interpretación de $b 0$ como producto vacío le asigna el valor $1$ ;
la interpretación combinatoria de $b 0$ es el número de 0-tuplas de elementos de un conjunto de $b$ -elementos; hay exactamente una 0-tupla;
la interpretación en teoría de conjuntos de $b 0$ es el número de funciones del conjunto vacío a un conjunto de $b$ -elementos; existe exactamente una función de este tipo, a saber, la función vacía.

Los tres se particularizan en dar $00$  = 1.

Polinomios y series de potencias[editar]

Al evaluar polinomios, es conveniente definir $00$ como 1. Un polinomio (real) es una expresión de la forma $a 0 x 0 + \cdot\cdot\cdot + a n x n$ , donde $x$ es una indeterminada, y los coeficientes $a i$ son números reales. Los polinomios se suman por términos y se multiplican aplicando la ley distributiva y las reglas habituales para los exponentes. Con estas operaciones, los polinomios forman un anillo $R [x]$ .

Exponentes continuos[editar]

Dibujo de $z=x^{y}$ . Las curvas rojas (con $z$ constante) tienen diferentes límites cuando $(x,y)$ se aproxima a $(0,0)$ . En cambio las curvas verdes (de pendiente constante finita, $y=ax$ ) tienden todas a $1$ cuando nos aproximamos al origen.

Los límites que involucran operaciones algebraicas a menudo pueden ser evaluadas reemplazando las variables por sus límites. Si la expresión resultante no determina el límite, la expresión es conocida como una forma indeterminada.^[1] De hecho, cuándo $f(t)$ y $g(t)$ son funciones reales ambas con límite 0 cuando $t$ tiende a infinito y $f(t)>0$ , la función $f(t)^{g(t)}$ no necesariamente se acerca a $1$ cuando $f(t)$ y $g(t)$ tienden a 0. En ese caso, el límite de $f(t)^{g(t)}$ puede ser cualquier número real o puede divergir. Por ejemplo, las funciones de más abajo son de la forma $f(t)^{g(t)}$ con $f(t)\to 0$ y $g(t)\to 0$ cuando $t\to 0^{+}$ pero los límites son diferentes:

\lim _{t\to 0^{+}}{t}^{t}=1,

\lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-{\frac {1}{t^{2}}}}\right)^{t}=0,

\lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-{\frac {1}{t^{2}}}}\right)^{-t}=+\infty ,

\lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-{\frac {1}{t}}}\right)^{at}=e^{-a}.

Así, la función de dos variable $x^{y}$ es continua en el dominio $\{(x,y):x>0\}$ pero no se puede extender como función continua el dominio $\{(x,y):x>0\}\cup \{(0,0)\}$ ,^[2]. Aun así, bajo ciertas condiciones, como cuándo $f$ y $g$ son ambas $f$ unciones analíticas en cero y $f$ es positiva en el intervalo abierto $(0,b)$ para algún positivo $b$ , el límite por la derecha en 0 siempre es $1$ .^[3]^[4]^[5]

Exponentes complejos[editar]

En los números complejos, la función $z^{w}$ puede ser definida para $z$ no nulo eligiendo una rama de $\operatorname {log} \,z$ y definiendo $z^{w}$ como $e^{w\operatorname {log} \,z}$ . Esto no define $0^{w}$ puesto que no hay ninguna rama de $\operatorname {log} \,z$ definida en 0.^[6]^[7]^[8]

La historia de $0^{0}$ desde diferentes puntos de vista[editar]

El debate sobre la definición de $0^{0}$ viene desde al menos desde comienzos del siglo XIX. En aquel tiempo, la mayoría de los matemáticos estaba de acuerdo en que $0^{0}=1$ , hasta que en 1821 Cauchy^[9] listó $0^{0}$ junto con las expresiones del tipo ${\frac {0}{0}}$ en la tabla de formas indeterminadas. En el los 1830's Guglielmo Libri Carucci dalla Sommaja^[10]^[11] publicó un argumento poco convincente de que $0^{0}=1$ , y Möbius^[12] a la par, erróneamente afirmó que $\lim _{t\to 0^{+}}f(t)^{g(t)}=1$ siempre y cuando $\lim _{t\to 0^{+}}f(t)=\lim _{t\to 0^{+}}g(t)=0$ . Un comentarista quien firmó su nombre sencillamente tan solo con "S" proporcionó un contraejemplo con la función $(e^{-1/t})^{t}$ , y esto calmó el debate para algún tiempo. Detalles más históricos pueden ser encontrados en Knuth (1992).^[13]

Autores más recientes interpretan la situación de diferentes maneras:

Algunos argumentan que el valor más adecuado para $0^{0}$ depende de contexto. Según Benson (1999), "La elección de como definir $0^{0}$ está basada en la conveniencia, no en la correctitud. [...] El consenso es utilizar la definición $0^{0}=1$ , a pesar de que hay libros de texto que creen que es conveniente no establecer una definición."^[14]
Otros argumentan que $0^{0}$ debería ser definido como 1. Knuth (1992) afirma fuertemente que $0^{0}$ "tiene que ser 1", resaltando una distinción entre el valor $0^{0}$ , el cual tiene que ser igual a 1, de acuerdo a lo dicho por Libri, y la forma limite $0^{0}$ (una abreviatura para un límite de $f(x)^{g(x)}$ cuando $f(x),g(x)\to 0$ ), la cual es necesariamente una forma indeterminada como fue dicho por Cauchy: "Ambos Cauchy y Libri dijeron lo correcto, pero Libri y sus defensores no entendieron por qué la verdad estaba de su lado."^[13] Vaughn da muchos ejemplos de teoremas cuyos enunciados requieren que $0^{0}=1$ para ser expresados en forma sencilla.^[15]

Referencias[editar]

↑ Malik, S. C.; Arora, Savita (1992). Mathematical Analysis. New York: Wiley. p. 223. ISBN 978-81-224-0323-7. «In general the limit of $φ (x)/ ψ (x)$ when $x = a$ in case the limits of both the functions exist is equal to the limit of the numerator divided by the denominator. But what happens when both limits are zero? The division ( $0/0$ ) then becomes meaningless. A case like this is known as an indeterminate form. Other such forms are $\infty/\infty$ , $0 \times \infty$ , $\infty - \infty$ , $00$ , $1 \infty$ and $\infty 0$ .»
↑ L. J. Paige (March 1954). «A note on indeterminate forms». American Mathematical Monthly 61 (3): 189-190. doi:10.2307/2307224.
↑ «sci.math FAQ: What is 0^0?». www.faqs.org.
↑ Rotando, Louis M.; Korn, Henry (1977). «The Indeterminate Form $00$ ». Mathematics Magazine (Mathematical Association of America) 50 (1): 41-42. doi:10.2307/2689754.
↑ Lipkin, Leonard J. (2003). «On the Indeterminate Form $00$ ». The College Mathematics Journal (Mathematical Association of America) 34 (1): 55-56. doi:10.2307/3595845.
↑ "Since $log(0)$ does not exist, $0 z$ is undefined. For $Re(z) > 0$ , we define it arbitrarily as $0$ ." George F. Carrier, Max Krook and Carl E. Pearson, Functions of a Complex Variable: Theory and Technique, 2005, p. 15 ISBN 0-89871-595-4
↑ "For $z = 0$ , $w \neq 0$ , we define $0 w = 0$ , while $00$ is not defined." Mario Gonzalez, Classical Complex Analysis, Chapman & Hall, 1991, p. 56. ISBN 0-8247-8415-4
↑ "... Let's start at $x = 0$ . Here $x x$ is undefined." Mark D. Meyerson, The $x x$ Spindle, Mathematics Magazine 69, no. 3 (June 1996), 198-206. doi 10.1080/0025570X.1996.11996428
↑ Augustin-Louis Cauchy, Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). In his Oeuvres Complètes, series 2, volume 3.
↑ Guillaume Libri, Note sur les valeurs de la fonction $0 0 x$ , Journal für die reine und angewandte Mathematik 6 (1830), 67–72.
↑ Guillaume Libri, Mémoire sur les fonctions discontinues, Journal für die reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303–316.
↑ A. F. Möbius (1834). «Beweis der Gleichung $00 = 1$ , nach J. F. Pfaff» [Proof of the equation $00 = 1$ , according to J. F. Pfaff]. Journal für die reine und angewandte Mathematik 12: 134-136.
↑ ^a ^b Donald E. Knuth, Two notes on notation, Amer. Math. Monthly 99 no. 5 (May 1992), 403–422 (arΧiv:math/9205211).
↑ Examples include Edwards and Penny (1994). Calculus, 4th ed, Prentice-Hall, p. 466, and Keedy, Bittinger, and Smith (1982). Algebra Two. Addison-Wesley, p. 32.
↑ «What is 0^0?». www.maa.org. Consultado el 26 de julio de 2019.

Enlaces externos[editar]

sci.Matemática FAQ: Qué es 00?
Qué 00 (cero al zeroth poder) igual? En Askamathematician.com

Datos: Q6139783

[1] Malik, S. C.; Arora, Savita (1992). Mathematical Analysis. New York: Wiley. p. 223. ISBN 978-81-224-0323-7. «In general the limit of $φ (x)/ ψ (x)$ when $x = a$ in case the limits of both the functions exist is equal to the limit of the numerator divided by the denominator. But what happens when both limits are zero? The division ( $0/0$ ) then becomes meaningless. A case like this is known as an indeterminate form. Other such forms are $\infty/\infty$ , $0 \times \infty$ , $\infty - \infty$ , $00$ , $1 \infty$ and $\infty 0$ .»

[2] L. J. Paige (March 1954). «A note on indeterminate forms». American Mathematical Monthly 61 (3): 189-190. doi:10.2307/2307224.

[3] «sci.math FAQ: What is 0^0?». www.faqs.org.

[4] Rotando, Louis M.; Korn, Henry (1977). «The Indeterminate Form $00$ ». Mathematics Magazine (Mathematical Association of America) 50 (1): 41-42. doi:10.2307/2689754.

[5] Lipkin, Leonard J. (2003). «On the Indeterminate Form $00$ ». The College Mathematics Journal (Mathematical Association of America) 34 (1): 55-56. doi:10.2307/3595845.

[6] "Since $log(0)$ does not exist, $0 z$ is undefined. For $Re(z) > 0$ , we define it arbitrarily as $0$ ." George F. Carrier, Max Krook and Carl E. Pearson, Functions of a Complex Variable: Theory and Technique, 2005, p. 15 ISBN 0-89871-595-4

[7] "For $z = 0$ , $w \neq 0$ , we define $0 w = 0$ , while $00$ is not defined." Mario Gonzalez, Classical Complex Analysis, Chapman & Hall, 1991, p. 56. ISBN 0-8247-8415-4

[8] "... Let's start at $x = 0$ . Here $x x$ is undefined." Mark D. Meyerson, The $x x$ Spindle, Mathematics Magazine 69, no. 3 (June 1996), 198-206. doi 10.1080/0025570X.1996.11996428

[9] Augustin-Louis Cauchy, Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). In his Oeuvres Complètes, series 2, volume 3.

[10] Guillaume Libri, Note sur les valeurs de la fonction $0 0 x$ , Journal für die reine und angewandte Mathematik 6 (1830), 67–72.

[11] Guillaume Libri, Mémoire sur les fonctions discontinues, Journal für die reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303–316.

[Möbius1834-12] A. F. Möbius (1834). «Beweis der Gleichung $00 = 1$ , nach J. F. Pfaff» [Proof of the equation $00 = 1$ , according to J. F. Pfaff]. Journal für die reine und angewandte Mathematik 12: 134-136.

[Knuth1992-13] Donald E. Knuth, Two notes on notation, Amer. Math. Monthly 99 no. 5 (May 1992), 403–422 (arΧiv:math/9205211).

[14] Examples include Edwards and Penny (1994). Calculus, 4th ed, Prentice-Hall, p. 466, and Keedy, Bittinger, and Smith (1982). Algebra Two. Addison-Wesley, p. 32.

[15] «What is 0^0?». www.maa.org. Consultado el 26 de julio de 2019.

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