Diferencia entre revisiones de «Teorema de Heine-Cantor»
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En [[matemática]]s, el '''teorema de Heine-Cantor''', llamado así por deberse a [[Eduard Heine]] (1821 - 1881) y [[Georg Cantor]], establece que, si <math>f:M\rightarrow N</math> es una [[función continua]] entre dos [[Espacio métrico|espacios métricos]] y <math>M</math> es [[Espacio compacto|compacto]], entonces <math>f</math> es [[Continuidad uniforme|uniformemente continua]] en <math>M</math>.<ref name=BMMANP>{{cita libro|título=Smooth Functions and Maps|autor=Boris M. Makarov, Anatolii N. Podkorytov|editorial=Springer Nature|año=2021|url=https://books.google.es/books?id=y_05EAAAQBAJ&pg=PA14#v=onepage&q&f=false|isbn=9783030794385|páginas= 14 de 244|fechaacceso= 14 de octubre de 2023}}</ref> |
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Pero como <math>f</math> es continua y <math>x_{n_k}</math> e <math>y_{n_k}</math> convergen en el mismo punto, esta afirmación no puede ser cierta. La contradicción prueba que nuestra suposición de que <math>f</math> no es uniformemente continua es [[Reductio ad absurdum #Su uso en matemáticas|absurda]]: entonces <math>f</math> debe ser uniformemente continua en <math>M</math> como afirma el [[teorema]]. <math>\quad \square</math> |
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Revisión del 19:41 14 oct 2023
En matemáticas, el teorema de Heine-Cantor, llamado así por deberse a Eduard Heine (1821 - 1881) y Georg Cantor, establece que, si es una función continua entre dos espacios métricos y es compacto, entonces es uniformemente continua en .[1]
Demostración
La continuidad uniforme de una función se expresa como:
donde , son las funciones distancia en los espacios métricos y , respectivamente. Si ahora asumimos que es continua en el espacio métrico compacto pero no uniformemente continua, la negación de la continuidad uniforme de queda así:
Eligiendo , para todo positivo tenemos un par de puntos e en con las propiedades arriba descritas. Si elegimos para obtenemos dos sucesiones tales que
Como es compacto, el teorema de Bolzano-Weierstrass demuestra la existencia de dos subsucesiones convergentes ( a y a ). Se sigue que
Pero como es continua y e convergen en el mismo punto, esta afirmación no puede ser cierta. La contradicción prueba que nuestra suposición de que no es uniformemente continua es absurda: entonces debe ser uniformemente continua en como afirma el teorema.
Referencias
- ↑ Boris M. Makarov, Anatolii N. Podkorytov (2021). Smooth Functions and Maps. Springer Nature. pp. 14 de 244. ISBN 9783030794385. Consultado el 14 de octubre de 2023.