Dodecaedro biselado

Dodecaedro biselado
Imagen del sólido
Tipo	Poliedro de Goldberg (GV(2,0)= {5+,3}2,0) Fullereno (C80)​ Sólido casi coincidente de Johnson
Caras	12 pentágonos 30 hexágonos irregulares
Aristas	120 (2 tipos)
Vértices	80 (2 tipos)
Configuración de vértices	60 (5.6.6) 20 (6.6.6)
Grupo de simetría	Icosaédrica (Ih)
Poliedro dual	Pentakis icosidodecahedron
Conway	cD= t5daD= dk5aD
Propiedades
convex, equilateral-faced
Desarrollo

En geometría, el dodecaedro biselado es un politopo convexo con 80 vertices, 120 edges y 42 faces: 30 hexágono y 12 pentágono. Está construido como un chamfer (truncamiento de borde) de un regular dodecahedron. Los pentágonos se reducen de tamaño y se añaden nuevas caras hexagonales en lugar de todas las aristas originales. Su dual es el pentakis icosidodecahedron.

También se le llama triacontaedro rómbico truncado, construido como un truncation del triacontaedro rómbico. Se le puede llamar con mayor precisión un triacontaedro rómbico truncado de orden 5 porque solo los vértices de orden 5 están truncados.

Estructura

Estos 12 vértices de orden 5 se pueden truncar de modo que todos los bordes tengan la misma longitud. Las 30 caras originales de rhombic se convierten en hexágonos no regulares y los vértices truncados se convierten en pentágonos regulares.

Las caras del hexágono pueden ser equilateral pero no regular con simetría D₂. Los ángulos en los dos vértices con configuración de vértices 6.6.6 son $\arccos \left({\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)=116.565^{\circ }$ y en los cuatro vértices restantes con 5.6.6, son 121.717° cada uno.

Es el Poliedro de Goldberg G_V(2,0), que contiene caras pentagonales y hexagonales.

También representa la envoltura exterior de un operador de proyección centrado en células del hecatonicosacoron, uno de seis (convex regular 4-polytopes).

Química

Esta es la forma del fullereno C₈₀; a veces esta forma se denomina C₈₀(I_h) para describir su simetría icosaédrica y distinguirla de otros fullerenos de 80 vértices menos simétricos. Es uno de los cuatro fullerenos encontrados por Deza, Deza y Grishukhin (1998) que tienen un skeleton que puede ser incrustable isométricamente en un L₁ space.

chamfered dodecahedron

Poliedros relacionados

Este poliedro se parece mucho al icosaedro truncado uniforme que tiene 12 pentágonos, pero solo 20 hexágonos.

• 
  Truncated rhombic triacontahedron
  G(2,0)
• 
  Icosaedro truncado
  G(1,1)
• 
  cell-centered operador de proyección of the hecatonicosacoron

El dodecaedro biselado crea más poliedros mediante Notación de poliedros de Conway básico. El dodecaedro achaflanado en cremallera forma un icosaedro truncado achaflanado, y Goldberg (2,2).

Poliedros dodecaédricos biselados

semilla	ambo	truncado	zip	expandido	bisel	romo	chaflán	remolino
cD= G(2,0) cD	acD acD	tcD tcD	zcD= G(2,2) zcD	ecD ecD	bcD bcD	scD scD	ccD= G(4,0) ccD	wcD= G(4,2) wcD
dual	unión	aguja	n-plicado	orto	medial	giro	chaflán dual	remolino dual
dcD dcD	jcD jcD	ncD ncD	kcD kcD	ocD ocD	mcD mcD	gcD gcD	dccD dccD	dwcD dwcD

Icosaedro truncado biselado

Chamfered truncated icosahedron
Poliedro de Goldberg	GV(2,2)= {5+,3}2,2
Conway notation	ctI
Fullereno	C240
Faces	12 pentágonos 110 hexágonos (3 types)
Edges	360
Vertices	240
Symmetry	Ih, [5,3], (*532)
Poliedro conjugado	Hexapentakis chamfered dodecahedron
Properties	convex

En geometría, el icosaedro truncado achaflanado es un convex poliedro con 240 vértices, 360 aristas y 122 caras, 110 hexágonos y 12 pentágonos.

Se construye mediante una operación de chaflán en icosaedro truncado, agregando nuevos hexágonos en lugar de los bordes originales. También se puede construir como una operación zip (= dk = dual de kis of) a partir del dodecaedro biselado. En otras palabras, elevar pirámides pentagonales y hexagonales sobre un dodecaedro achaflanado (operación kis) producirá (2,2) geodesic polyhedron. Tomando el dual de eso se obtiene el (2,2) Poliedro de Goldberg, que es el icosaedro truncado achaflanado, y también es Fullereno C₂₄₀.

Doble

Su dual, el dodecaedro biselado hexapentakis, tiene 240 caras triangulares (agrupadas en 60 (azul), 60 (rojo) alrededor de 12 vértices de simetría de 5 veces y 120 alrededor de 20 vértices de simetría de 6 veces), 360 aristas, y 122 vértices.

Dodecaedro biselado hexapentakis

Referencias

Bibliografía

• Deza, Antoine; Deza, Michel; Grishukhin, Viatcheslav (October 1998). «Fullerenes and coordination polyhedra versus half-cube embeddings». Discrete Mathematics 192 (1–3): 41-80. doi:10.1016/S0012-365X(98)00065-X. 
• Goldberg, Michael (1937). «A class of multi-symmetric polyhedra». Tohoku Mathematical Journal 43: 104-108. 
• Hart, George (2012). «Goldberg Polyhedra». En Senechal, Marjorie, ed. Shaping Space (2nd edición). Springer. pp. 125–138. ISBN 978-0-387-92713-8. doi:10.1007/978-0-387-92714-5_9. 
• Hart, George (June 18, 2013). «Mathematical Impressions: Goldberg Polyhedra». Simons Science News. 

Enlaces externos

• Truncamiento de vértices y aristas de los sólidos platónicos y de Arquímedes que conducen a poliedros transitivos de vértices Livio Zefiro
• Generador poliédrico VRML (Notación de poliedros de Conway)

• Datos: Q3538651