Diferencia entre revisiones de «Centro de un grupo»
m Mantenimiento de Control de autoridades |
repaso general, refs |
||
Línea 1: | Línea 1: | ||
En [[teoría de grupos]], el '''centro de un grupo |
En matemáticas, y más concretamente en [[teoría de grupos]], el '''centro''' de un [[grupo (matemática)|grupo]] es el subconjunto formado por los elementos que conmutan con todos los elementos del grupo. De manera formal, dado un grupo <math>(G,*)</math>, se define su centro como: |
||
⚫ | |||
De manera formal, dado un grupo <math>(G,*)</math>, definimos el centro del grupo <math>G</math> como sigue: |
|||
⚫ | |||
El centro de <math>G</math> es un [[subgrupo]], que además es [[Grupo abeliano|abeliano]], [[Subgrupo normal|normal]] y [[Subgrupo característico|característico]] en <math>G</math>.{{Harvnp|Rotman|1994|p=44}} |
|||
⚫ | |||
== Ejemplos == |
|||
⚫ | |||
:<math> A= \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} </math> |
:<math> A= \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} </math> |
||
Las matrices invertibles son aquellas cuyo [[determinante (matemática)|determinante]] <math> \operatorname{det}(A) = (a d - b c)</math> es diferente de 0. |
|||
con coeficientes reales. |
|||
La innversibilidad de una matriz equivale a que el [[determinante (matemática)|determinante]] |
|||
:<math> \operatorname{det}(A) = a d - b c </math> |
|||
sea diferente de 0. |
|||
Un cálculo directo muestra que el centro de ''G'' consiste en las matrices escalares |
|||
:<math> \begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix} |
:<math> \lambda I = \begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix}, </math> |
||
donde <math>\lambda</math> es cualquier número real distinto de cero. |
|||
Este es un caso particular |
Este es un caso particular del resultado siguiente: |
||
{{teorema|1=El centro del [[grupo general lineal]] ''GL''(''n'', '''R''') -compuesto por las matrices invertibles de orden ''n'' × ''n'' con coeficientes reales- lo forman las ''matrices escalares'', es decir, aquellas que son un múltiplo (no nulo) de la [[matriz identidad]] de orden ''n''.}} |
|||
⚫ | |||
'''Proposición''' El centro del grupo '''gl'''(n, '''R''') de las matrices n × n inversibles |
|||
consiste de las matrices diagonales constantes, es decir, aquellas que son un múltiplo de la matriz identidad. |
|||
⚫ | |||
== Propiedades == |
== Propiedades == |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
'''Proposición'''. El centro Z(''G'') de un grupo ''G'' es un [[subgrupo normal]] abeliano de ''G''. |
|||
Z(''G'') es un grupo: El elemento neutro ''e'' del grupo conmuta con todos los elementos de ''G'' |
* El centro Z(''G'') de un grupo ''G'' es un [[subgrupo normal]] abeliano de ''G''. |
||
{{Demostración|plegada=no|1= |
|||
Z(''G'') es un grupo: |
|||
* El elemento neutro ''e'' del grupo conmuta con todos los elementos de ''G'', luego ''e'' ∈ Z{''G''). |
|||
*Si ''a'', ''b'' ∈ Z(''G''), ''h'' ∈ ''G'' entonces |
|||
:<math> (a*b)*h = a*(b*h) = a*(h*b) = (a*h)*b = (h*a)*b = h*(a*b), \,</math> |
:<math> (a*b)*h = a*(b*h) = a*(h*b) = (a*h)*b = (h*a)*b = h*(a*b), \,</math> |
||
es decir que ''a''*''b'' ∈ Z(''G'') |
:es decir que ''a''*''b'' ∈ Z(''G''). |
||
*Z(''G'') es invariante por la operación de tomar inversas. Si ''a'' ∈ Z(''G'') y ''g'' ∈ ''G'' entonces ''a'' * ''g'' = ''g'' * ''a''. Multiplicando por ''a''<sup>-1</sup> por la derecha y por la izquierda se tiene que ''a''<sup>-1</sup> * ''g'' = ''g'' * ''a''<sup>-1</sup>, para todo ''g'' ∈ ''G''. Luego ''a''<sup>-1</sup> ∈ Z(''G''). |
|||
Luego multiplicando por ''a''<sup>-1</sup> la derecha y por la izquierda tenemos que |
|||
''a''<sup>-1</sup> * ''g'' = ''g'' * ''a''<sup>-1</sup> para todo ''g'' ∈ ''G''. Luego ''a''<sup>-1</sup> ∈ Z(''G''). |
|||
Z(''G'') es abeliano, pues todos |
Z(''G'') es abeliano, pues sus elementos conmutan con todos los elementos de ''G'', luego en particular conmutan con los del centro de ''G''. |
||
Z(''G'') es un subgrupo normal de ''G'' pues si ''z'' ∈ Z(''G''), entonces |
Z(''G'') es un subgrupo normal de ''G'' pues si ''z'' ∈ Z(''G''), entonces |
||
:<math>g*z*g^{-1} = g*g^{-1}*z = e*z = z \in \operatorname{Z}(G).</math> |
:<math>g*z*g^{-1} = g*g^{-1}*z = e*z = z \in \operatorname{Z}(G).</math> |
||
}} |
|||
* El centro de '''G''' es un subgrupo ''característico'' (invariante bajo cualquier [[automorfismo]] de '''G'''). |
|||
⚫ | |||
{{Demostración|plegada=no|1= |
|||
Es un concepto que aparece en publicaciones de [[Teoría de grupos]]. Si G es un grupo y a un elemento de G, el ''centralizador'' de a en G es el conjunto |
|||
Sea <math>f:G \to G</math> un automorfismo de <math>G</math> y sea <math>z \in Z(G)</math>. Entonces, para todo <math>g \in G</math> |
|||
:<math> f(z)*g = f(z)* f(f^{-1}(g)) = f(z*f^{-1}(g)) = f(f^{-1}(g)*z) |
|||
= f(f^{-1}(g)) * f(z) = g * f(z).</math> |
|||
en consecuencia <math> f(z) \in Z(G)</math>.}} |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
De manera similar a como se define el centro de un grupo '''G''', se define el concepto del '''centralizador''' de un elemento ''a'' en '''G''': es el subconjunto formado por los elementos de '''G''' que conmutan con ''a''. Formalmente:{{Harvnp|Rotman|1994|p=44}} |
|||
de elementos de G que conmutan con a. |
|||
⚫ | |||
=== Proposiciones === |
=== Proposiciones === |
||
* El centralizador de ''a'' en G |
* El centralizador de ''a'' en '''G''' es un subgrupo de '''G'''. |
||
* El centralizador de ''a'' en '''G''' es el mayor subgrupo de '''G''' en el que ''a'' conmuta con todos sus elementos. |
|||
* El centralizador de ''a'' es todo '''G''' si y solo si ''a'' pertenece al centro de '''G'''. |
|||
* El centro de '''G''' es la intersección de los centralizadores de cada uno de sus elementos. |
|||
⚫ | |||
== Véase también == |
|||
⚫ | |||
* [[Propiedad conmutativa]]. |
|||
* [[Grupo abeliano]]. |
|||
* [[Grupo nilpotente]]. |
|||
* [[Normalizador]]. |
|||
* [[Subgrupo conmutador]]. |
|||
* [[Acción_(matemática)#Ecuación de clases|Ecuación de clases]]. |
|||
== Referencias == |
== Referencias == |
||
{{listaref}} |
{{listaref}} |
||
=== Bibliografía === |
|||
*{{Cita libro | apellido = Rotman | nombre = Joseph J. | título = An introduction to the theory of groups | editorial = Springer-Verlag | año = 1994 | edición = Corrected second printing, 1999 | isbn = 978-1-4612-8686-8}} |
|||
* {{Citation |last=Zaldívar |first=Felipe |date=2009 |title=Introducción a la teoría de grupos |edition= |volume= |series= |publisher= |isbn=970-32-3871-8}} |
* {{Citation |last=Zaldívar |first=Felipe |date=2009 |title=Introducción a la teoría de grupos |edition= |volume= |series= |publisher= |isbn=970-32-3871-8}} |
||
Revisión del 18:15 30 jul 2023
En matemáticas, y más concretamente en teoría de grupos, el centro de un grupo es el subconjunto formado por los elementos que conmutan con todos los elementos del grupo. De manera formal, dado un grupo , se define su centro como:
El centro de es un subgrupo, que además es abeliano, normal y característico en .[1]
Ejemplos
Por ejemplo, sea G el grupo GL(2, R) de las matrices invertibles de orden 2 × 2 con coeficientes reales:
Las matrices invertibles son aquellas cuyo determinante es diferente de 0.
Un cálculo directo muestra que el centro de G consiste en las matrices escalares
donde es cualquier número real distinto de cero.
Este es un caso particular del resultado siguiente:
|
Para otro ejemplo, sea G el grupo de los cuaterniones. Es fácil verificar que el centro de ese grupo es , pues son los únicos elementos que conmutan con el resto.
Propiedades
- Si G es abeliano (conmutativo) entonces G=Z(G).
- El centro Z(G) de un grupo G es un subgrupo normal abeliano de G.
Demostración |
Z(G) es un grupo:
Z(G) es abeliano, pues sus elementos conmutan con todos los elementos de G, luego en particular conmutan con los del centro de G. Z(G) es un subgrupo normal de G pues si z ∈ Z(G), entonces |
- El centro de G es un subgrupo característico (invariante bajo cualquier automorfismo de G).
Demostración |
Sea un automorfismo de y sea . Entonces, para todo
en consecuencia . |
Centralizador
De manera similar a como se define el centro de un grupo G, se define el concepto del centralizador de un elemento a en G: es el subconjunto formado por los elementos de G que conmutan con a. Formalmente:[1]
Proposiciones
- El centralizador de a en G es un subgrupo de G.
- El centralizador de a en G es el mayor subgrupo de G en el que a conmuta con todos sus elementos.
- El centralizador de a es todo G si y solo si a pertenece al centro de G.
- El centro de G es la intersección de los centralizadores de cada uno de sus elementos.
- Si existe en un grupo G un único elemento a, cuyo orden es 2, entonces el centralizador de a es todo G.
Véase también
- Propiedad conmutativa.
- Grupo abeliano.
- Grupo nilpotente.
- Normalizador.
- Subgrupo conmutador.
- Ecuación de clases.
Referencias
- ↑ a b Rotman, 1994, p. 44.
Bibliografía
- Rotman, Joseph J. (1994). An introduction to the theory of groups (Corrected second printing, 1999 edición). Springer-Verlag. ISBN 978-1-4612-8686-8.
- Zaldívar, Felipe (2009), Introducción a la teoría de grupos, ISBN 970-32-3871-8.