Diferencia entre revisiones de «Genus (matemáticas)»

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[[Archivo:Double_torus_illustration.png|miniaturadeimagen|Una superficie de género 2]]
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En [[matemáticas]], '''género''' tiene unos cuantos significados diferentes, pero estrechamente relacionados:


En [[matemáticas]], la palabra [[latín|latina]] '''genus''' (plural '''genera'''; ''género'' en español) tiene algunos significados diferentes, pero estrechamente relacionados entre sí. La forma más rápida, fácil e intuitiva de introducir el concepto de ''genus'' es el número de "orificios" de una [[Superficie (topología)|superficie]].{{sfn|Popescu-Pampu|2016|loc=Introduction|p=xiii}} Por ejemplo, una [[esfera]] tiene genus 0 y un [[toro (geometría)|toro]] tiene genus 1.
== Topología ==


==Topología==
=== Superficie Orientable ===
===Superficies orientables===<!-- This section is linked from [[Plano complejo]] -->
El genero de una [[Superficie (matemática)|superficie]] orientable conectada es un [[número entero]] que representa el número máximo de cortes a lo largo de las [[Curva|curvas]] simples no intersectadas cerradas sin hacer que el [[Variedad (matemáticas)|colector]] resultante se desconecte.<ref>Munkres, James R. Topology. </ref> Es igual al número de asas o mangos que hay en el objeto (handle decomposition en Inglés). Alternativamente, pueda ser definido en términos de la [[característica de Euler]] χ, vía la relación <math>\chi=2-2g</math> para superficies cerradas, donde ''g'' es el género. Para superficies con ''b'' componentes de frontera, la ecuación toma ''χ'' = 2 − 2g − b. En términos sencillos es el número de "agujeros" que un objeto tiene ("agujeros" interpretados en el sentido de agujeros de rosca, una esfera hueca sería considerada como sin agujeros en este sentido). Un donut (dona) o [[Toro (geometría)|toro]], tiene 1 agujero. Una esfera tiene 0 mientras un círculo tiene 1. Notar que esto no se podría trabajar para la 4.ª dimensión y superiores ya que es difícil visualizar un 4.º agujero dimensional.
[[File:Mug and Torus morph.gif|thumb|La taza de café y la rosquilla que se muestran en esta animación tienen el genus 1]]
* La [[esfera]] S2 y un [[Círculo|disco]] ambos tienen género cero. [[Archivo:Mug_and_Torus_morph.gif|derecha|100x100px|Donut o taza de café?]]
* Un [[Toro (geometría)|torus]] tiene género 1, tal como tiene la superficie de una taza de café con un asa. Esto es la fuente del chiste que "un topólogo es alguien quién no puede contar su donut de su taza de café."
Una construcción explícita de superficies de género ''g'' está dado en el artículo en el polígono fundamental.<ref>{{Cita publicación|url=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Fundamental_polygon&oldid=776121205|título=Fundamental polygon|fecha=19 de abril de 2017|publicación=Wikipedia|fechaacceso=2 de mayo de 2017|idioma=en}}</ref><gallery caption="Género de superficies orientables" widths="100px" heights="100px" perrow="6">
File:Sphere filled blue.svg|Género 0
File:Torus illustration.png|Género 1
File:Double torus illustration.png|Género 2
File:Triple torus illustration.png|Género 3
</gallery>En términos sencillos, el valor del género de una superficie orientable es igual al número de "agujeros" que tiene.<ref>{{Cita web|url=http://mathworld.wolfram.com/Genus.html|título=Genus|fechaacceso=2 de mayo de 2017|apellido=W.|nombre=Weisstein, Eric|idioma=en|sitioweb=mathworld.wolfram.com}}</ref>


El '''genus''' (o ''género'') de una superficie orientable [[Conjunto conexo|conexa]] es un [[número entero]] que representa el número máximo de cortes que generen [[Curva|curvas simples cerradas]] que no se cruzan a sí mismas sin hacer que la [[variedad (matemáticas)|variedad]] resultante sea inconexa.<ref>Munkres, James R. Topology. Vol. 2. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000.</ref> Es igual al número de [[descomposición en asas|''asas'']] que presenta. Alternativamente, se puede definir en términos de la [[característica de Euler]] ''χ'', a través de la relación ''χ''&nbsp;=&nbsp;2&nbsp;−&nbsp;2''g'' para [[Superficie (topología)|superficies cerradas]], donde ''g'' es el genus. Para superficies con ''b'' [[Frontera (topología)|fronteras]] componentes, la ecuación asegura que ''χ'' =&nbsp;2&nbsp;−&nbsp;2''g''&nbsp;−&nbsp;''b''. En términos sencillos, es la cantidad de "orificios" que tiene un objeto ("orificios" interpretados en el sentido de agujeros de una rosquilla; se consideraría de esta manera que una esfera hueca tiene cero agujeros). Una rosquilla, o toro, tiene 1 de estos orificios, mientras que una esfera tiene 0. La superficie verde que se muestra arriba tiene 2 orificios del tipo correspondiente.
=== Superficies no orientables ===
El género no orientable, '''semigénero''', o ''género de 'Euler''' de un conexo, la superficie '''no orientable''' cerrada es un [[Número entero|entero]] positivo representando el número de tapas transversales que sujetaron a una [[esfera]]. Alternativamente, este puede ser definido para una superficie cerrada en términos de [[característica de Euler]] ''χ'', vía la relación ''χ'' = 2 − ''k'', donde ''k'' es el género no-orientable .
* Un plano [[Plano proyectivo|projectiv]]<nowiki/>o el avión tiene un género no orientable.
* Una [[Botella de Klein|botella]] de Klein tiene dos géneros no orientables.


Por ejemplo:
=== Nudo ===
* Una [[esfera]] '''S'''<sup>2</sup> como un [[Disco (topología)|disco]] tienen genus cero.
El género de un nudo ''K'' está definido como el mínimo '''género''' de todo Seifert superficies para K. Un Seifert superficie de un nudo es aun así un [[Variedad|colector con]] borde, siendo la frontera el [[Nudo (matemática)|nudo]] , i.e.
* Un [[toro (geometría)|toro]] tiene genus uno, al igual que la superficie de una taza de café con un asa. Esta es el origen del chiste "los topólogos son personas que no pueden distinguir su rosquilla de su taza de café".
homeomorfa a la unidad del círculo.<ref>{{Obra citada|first=Colin|last=Adams|author-link=Colin Adams (mathematician)|title=The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots|publisher=American Mathematical Society|year=2004|isbn=0-8218-3678-1|ref=harv}}</ref> El género de tal superficie está definida para ser el género del duo-colector, el cual está obtenido por unión de la unidad del disco a lo largo del borde.


En el artículo sobre el [[polígono fundamental]] se da una construcción explícita de superficies de genus ''g''.
=== Cubo con asas ===
El '''género''' de un l [[Cubo con asas|c]]<nowiki/>ubo con asas tridimensional es un entero que representa el número máximo de recortes a lo largo de discos incrustados sin representación el colector resultante desconectado. Es igual al número de asas encima lo.
* Una [[Bola (matemática)|bola]] tiene género cero.
* Un [[Toro (geometría) |toro]] D2 × S1 tiene género uno.


<gallery caption="Genus de superficies orientables" widths="100px" heights="100px" perrow="6">
=== Teoría de grafos ===
File:Sphere filled blue.svg|genus 0
El género de un grafo es el entero mínimo ''n'' tal que el [[Grafo|graph]] puede ser dibujado sin cruce él en una esfera con ''n'' mangos (i.e. una superficie orientada de '''género''' n). Así, un [[grafo plano]] tiene género 0, porque pueda ser dibujado en una esfera sin self-cruzando.
File:Torus illustration.png|genus 1
File:Double torus illustration.png|genus 2
File:Triple torus illustration.png|genus 3
</gallery>


En términos más simples, el valor del genus de una superficie orientable es igual al número de "agujeros" que tiene.<ref>{{Cite web | url=http://mathworld.wolfram.com/Genus.html | title=Genus | last = Weisstein | first = E.W. | website = MathWorld | access-date = 4 June 2021}}</ref>
El '''género no orientable''' de un grafo es el entero mínimo n tal que el [[Grafo|graph]] puede ser dibujado sin cruce él en una esfera con ''n'' cruz-gorras (i.e. una superficie no orientable de género (no orientable) ''n''). (Este número es también llamó el '''demigénero'''.)


===Superficies no orientables===
El '''género de Euler''' es el entero mínimo n tal que el grafo puede ser dibujado sin cruce él en una esfera con ''n'' cruz-gorras o en una esfera con n/2 mangos.<ref>{{Cita libro|título=Graphs on surfaces}}</ref>
El '''genus [[orientabilidad|no orientable]]''', '''demigenus''' o '''genus de Euler''' de una superficie cerrada no orientable conexa es un número entero positivo que representa el número de [[banda de Möbius|bandas de Möbius]] adjuntas a un [[esfera]]. Alternativamente, se puede definir para una superficie cerrada en términos de la característica de Euler χ, a través de la relación χ = 2 − ''k'', donde ''k'' es el genus no orientable.


Por ejemplo:
En la teoría de grafos topológica allí es varias definiciones del género de un [[Grupo (matemática)|grupo.]] Arthur T. Blanco introducido el concepto siguiente. El género de un ''G'' de grupo es el mínimo género de un (conectado, undirected) [[Grafo de Cayley|Cayley graph]] para ''G''.
* Un [[plano proyectivo real]] tiene genus no orientable 1.
* Una [[botella de Klein]] tiene genus no orientable 2.


===Nudos===
== Geometría algebraica ==
El '''[[genus de un nudo|genus]]''' de un [[Nudo (matemática)|nudo]] ''K'' se define como el genus mínimo de todas las [[superficie de Seifert|superficies de Seifert]] de ''K''.<ref>{{Citation|first=Colin |last= Adams|author-link=Colin Adams (mathematician)|title=The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots |publisher=[[American Mathematical Society]]|year=2004|isbn=978-0-8218-3678-1}}</ref> Una superficie de Seifert de un nudo es, sin embargo, un [[variedad (matemáticas)|variedad]], siendo el límite el nudo, es decir, es homeomorfa al círculo unitario. El genus de tal superficie se define como el genus de la doble variedad, que se obtiene pegando el disco unitario en el límite.
hay dos relacionó definiciones de género de cualquier projective [[Esquema (matemática)|esquema]] algebraico ''X'': el género aritmético y el '''geométrico género.'''<ref>{{Cita libro|apellido=Hirzebruch|nombre=Friedrich|enlaceautor=Friedrich Hirzebruch|título=Topological methods in algebraic geometry|otros=Translation from the German and appendix one by R. L. E. Schwarzenberger. Appendix two by A. Borel|edición=Reprint of the 2nd, corr. print. of the 3rd|origyear=1978|series=Classics in Mathematics|ubicación=Berlin|editorial=[[Springer-Verlag]]|año=1995|isbn=3-540-58663-6|zbl=0843.14009}}</ref> Cuándo X es una [[curva algebraica]] con campo de definición los [[Número complejo|números complejos]], y si ''X'' tiene no [[Espacio tangente|puntos singulares]], entonces estas definiciones están de acuerdo y coincidir con la definición topológica aplicó al [[Superficie de Riemann|Riemann superficie]] de ''X'' (su [[Variedad|colector]] de puntos complejos). La definición de [[Curva elíptica|elliptic]] la curva de geometría algebraica está ''conectada no-singular projective curva de género 1 con un'' ''punto racional'' dado ''encima lo''.


===Cubo con asas===
== Véase también ==
El '''genus''' de un [[cubo con asas]] tridimensional es un número entero que representa el número máximo de cortes a lo largo de [[Disco (topología)|discos]] embebidos en él que se pueden realizar sin desconectar la variedad resultante. Es igual a su número de asas.
* [[Grafo de Cayley|Cayley graph]]
* Grupo (matemática)
* Género aritmético
* Género geométrico
* Género De un multiplicative secuencia
* Género De una forma cuadrática
* Spinor genus


Por ejemplo:
== Referencias ==
* Un [[Bola (matemática)|bola]] tiene género 0.
* Un toro sólido ''D''<sup>2</sup> × ''S''<sup>1</sup> tiene género 1.

===Teoría de grafos===
{{AP|Embebido de grafos}}

El '''genus''' de un [[grafo]] es el entero mínimo ''n'' tal que el gráfico se puede dibujar sin cruzarse en una esfera con ''n'' asas (es decir, una superficie orientada de género ''n''). Por lo tanto, un [[grafo plano]] tiene género 0, porque se puede dibujar en una esfera sin autocruzamiento.

El '''genus no orientable''' de un [[grafo]] es el entero mínimo ''n'' tal que el gráfico se puede dibujar sin cruzarse en una esfera con ''n'' tapas cruzadas (es decir, una superficie no orientable de genus (no orientable) ''n''. Este número también se llama '''demigenus''').

El '''genus de Euler''' es el mínimo entero ''n'' tal que la gráfica se puede dibujar sin cruzarse sobre una esfera con ''n'' tapas cruzadas o sobre una esfera con ''n/2'' asas.<ref>{{cite book|title=Graphs on surfaces}}</ref>

En [[teoría de grafos topológica]] hay varias definiciones del genus de un [[Grupo (matemática)|grupo]]. Arthur T. White introdujo el siguiente concepto: el genus de un grupo ''G'' es el género mínimo de un [[grafo de Cayley]] (conexo, no orientado) para ''G''.

El [[embebiso de grafos|problema del genus de grafos]] es [[NP-completo]].<ref>{{cite journal|first1=Carsten |last1=Thomassen |title= The graph genus problem is NP-complete |journal= Journal of Algorithms |year=1989 |issue=4 |volume=10 |pages=568&ndash;576 |issn=0196-6774 |doi=10.1016/0196-6774(89)90006-0 | zbl=0689.68071 }}</ref>

==Geometría algebraica==
Hay dos definiciones relacionadas de '''genus''' de cualquier [[Esquema (matemática)|esquema]] algebraico proyectivo ''X'': el [[genus aritmético]] y el [[genus geométrico]].<ref>{{cite book | last=Hirzebruch | first=Friedrich | author-link=Friedrich Hirzebruch | title=Topological methods in algebraic geometry | others=Translation from the German and appendix one by R. L. E. Schwarzenberger. Appendix two by A. Borel | edition=Reprint of the 2nd, corr. print. of the 3rd | orig-year=1978 | series=Classics in Mathematics | location=Berlin | publisher=[[Springer Science+Business Media]] | year=1995 | isbn=978-3-540-58663-0 | zbl=0843.14009 }}</ref> Cuando ''X'' es una [[curva algebraica]] definida sobre el [[Cuerpo (matemáticas)|cuerpo]] de los [[números complejos]], y si ''X'' no tiene [[Espacio tangente|puntos singulares]], entonces estas definiciones concuerdan y coinciden con la definición topológica aplicada a la [[superficie de Riemann]] de ''X'' (su [[variedad (matemáticas)|variedad]] de puntos complejos). Por ejemplo, la definición de [[curva elíptica]] en [[geometría algebraica]] es ''curva proyectiva no singular conexa de genus 1 con un [[punto racional]] dado en ella''.

Por el [[teorema de Riemann–Roch]], una curva plana irreducible de grado <math>d</math> dada por el lugar geométrico de fuga de una sección <math>s \in \Gamma(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(d))</math> tiene genus geométrico

:<math>g=\frac{(d-1)(d-2)}{2}-s,</math>

donde ''s'' es el número de singularidades cuando se cuentan propiamente.

==Biología==
El genus también se puede calcular para el gráfico que abarca la red de interacciones químicas en ácidos nucleicos o proteínas. En particular, se puede estudiar el crecimiento del genus en una cadena. Tal función (llamada rastro de genus) muestra la complejidad topológica y la estructura de dominio de las biomoléculas.<ref>{{Cite journal|last1=Sułkowski|first1=Piotr|last2=Sulkowska|first2=Joanna I.|last3=Dabrowski-Tumanski|first3=Pawel|last4=Andersen|first4=Ebbe Sloth|last5=Geary|first5=Cody|last6=Zając|first6=Sebastian|date=2018-12-03|title=Genus trace reveals the topological complexity and domain structure of biomolecules|journal=Scientific Reports|language=en|volume=8|issue=1|pages=17537|doi=10.1038/s41598-018-35557-3|issn=2045-2322|pmc=6277428|pmid=30510290|bibcode=2018NatSR...817537Z}}</ref>

==Véase también==
* [[Grupo (matemática)]]
* [[Genus aritmético]]
* [[Genus geométrico]]
* [[Genus de una secuencia multiplicativa]]
* [[Genus de una forma cuadrática]]
* [[Genus espinor]]

==Referencias==
{{listaref}}
{{listaref}}

==Bibliografía==
*{{cite book|first=Patrick|last=Popescu-Pampu|title=What is the Genus?|year=2016|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|url=https://www.springer.com/gp/book/9783319423111|isbn=978-3-319-42312-8}}

{{Control de autoridades}}
{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Curvas algebraicas]]
[[Categoría:Topología]]
[[Categoría:Topología algebraica]]
[[Categoría:Topología geométrica]]
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[[Categoría:Superficies]]
[[Categoría:Superficies]]
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[[Categoría:Topología algebraica]]
[[Categoría:Teoría de grafos]]
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[[Categoría:Invariantes de grafos]]
[[Categoría:Teoría de grafos topológicos]]
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[[Categoría:Procesamiento en geometría]]

Revisión del 10:21 3 jul 2022

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Una superficie de genus-2

En matemáticas, la palabra latina genus (plural genera; género en español) tiene algunos significados diferentes, pero estrechamente relacionados entre sí. La forma más rápida, fácil e intuitiva de introducir el concepto de genus es el número de "orificios" de una superficie.[1]​ Por ejemplo, una esfera tiene genus 0 y un toro tiene genus 1.

Topología

Superficies orientables

La taza de café y la rosquilla que se muestran en esta animación tienen el genus 1

El genus (o género) de una superficie orientable conexa es un número entero que representa el número máximo de cortes que generen curvas simples cerradas que no se cruzan a sí mismas sin hacer que la variedad resultante sea inconexa.[2]​ Es igual al número de asas que presenta. Alternativamente, se puede definir en términos de la característica de Euler χ, a través de la relación χ = 2 − 2g para superficies cerradas, donde g es el genus. Para superficies con b fronteras componentes, la ecuación asegura que χ = 2 − 2g − b. En términos sencillos, es la cantidad de "orificios" que tiene un objeto ("orificios" interpretados en el sentido de agujeros de una rosquilla; se consideraría de esta manera que una esfera hueca tiene cero agujeros). Una rosquilla, o toro, tiene 1 de estos orificios, mientras que una esfera tiene 0. La superficie verde que se muestra arriba tiene 2 orificios del tipo correspondiente.

Por ejemplo:

  • Una esfera S2 como un disco tienen genus cero.
  • Un toro tiene genus uno, al igual que la superficie de una taza de café con un asa. Esta es el origen del chiste "los topólogos son personas que no pueden distinguir su rosquilla de su taza de café".

En el artículo sobre el polígono fundamental se da una construcción explícita de superficies de genus g.

  • Genus de superficies orientables
  • genus 0
    genus 0
  • genus 1
    genus 1
  • genus 2
    genus 2
  • genus 3
    genus 3

En términos más simples, el valor del genus de una superficie orientable es igual al número de "agujeros" que tiene.[3]​

Superficies no orientables

El genus no orientable, demigenus o genus de Euler de una superficie cerrada no orientable conexa es un número entero positivo que representa el número de bandas de Möbius adjuntas a un esfera. Alternativamente, se puede definir para una superficie cerrada en términos de la característica de Euler χ, a través de la relación χ = 2 − k, donde k es el genus no orientable.

Por ejemplo:

Nudos

El genus de un nudo K se define como el genus mínimo de todas las superficies de Seifert de K.[4]​ Una superficie de Seifert de un nudo es, sin embargo, un variedad, siendo el límite el nudo, es decir, es homeomorfa al círculo unitario. El genus de tal superficie se define como el genus de la doble variedad, que se obtiene pegando el disco unitario en el límite.

Cubo con asas

El genus de un cubo con asas tridimensional es un número entero que representa el número máximo de cortes a lo largo de discos embebidos en él que se pueden realizar sin desconectar la variedad resultante. Es igual a su número de asas.

Por ejemplo:

  • Un bola tiene género 0.
  • Un toro sólido D2 × S1 tiene género 1.

Teoría de grafos

Artículo principal: Embebido de grafos

El genus de un grafo es el entero mínimo n tal que el gráfico se puede dibujar sin cruzarse en una esfera con n asas (es decir, una superficie orientada de género n). Por lo tanto, un grafo plano tiene género 0, porque se puede dibujar en una esfera sin autocruzamiento.

El genus no orientable de un grafo es el entero mínimo n tal que el gráfico se puede dibujar sin cruzarse en una esfera con n tapas cruzadas (es decir, una superficie no orientable de genus (no orientable) n. Este número también se llama demigenus).

El genus de Euler es el mínimo entero n tal que la gráfica se puede dibujar sin cruzarse sobre una esfera con n tapas cruzadas o sobre una esfera con n/2 asas.[5]​

En teoría de grafos topológica hay varias definiciones del genus de un grupo. Arthur T. White introdujo el siguiente concepto: el genus de un grupo G es el género mínimo de un grafo de Cayley (conexo, no orientado) para G.

El problema del genus de grafos es NP-completo.[6]​

Geometría algebraica

Hay dos definiciones relacionadas de genus de cualquier esquema algebraico proyectivo X: el genus aritmético y el genus geométrico.[7]​ Cuando X es una curva algebraica definida sobre el cuerpo de los números complejos, y si X no tiene puntos singulares, entonces estas definiciones concuerdan y coinciden con la definición topológica aplicada a la superficie de Riemann de X (su variedad de puntos complejos). Por ejemplo, la definición de curva elíptica en geometría algebraica es curva proyectiva no singular conexa de genus 1 con un punto racional dado en ella.

Por el teorema de Riemann–Roch, una curva plana irreducible de grado dada por el lugar geométrico de fuga de una sección tiene genus geométrico

donde s es el número de singularidades cuando se cuentan propiamente.

Biología

El genus también se puede calcular para el gráfico que abarca la red de interacciones químicas en ácidos nucleicos o proteínas. En particular, se puede estudiar el crecimiento del genus en una cadena. Tal función (llamada rastro de genus) muestra la complejidad topológica y la estructura de dominio de las biomoléculas.[8]​

Véase también

Referencias

  1. ↑ Popescu-Pampu, 2016, Introduction.
  2. ↑ Munkres, James R. Topology. Vol. 2. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000.
  3. ↑ Weisstein, E.W. «Genus». MathWorld. Consultado el 4 June 2021. 
  4. ↑ Adams, Colin (2004), The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3678-1 .
  5. ↑ Graphs on surfaces. 
  6. ↑ Thomassen, Carsten (1989). «The graph genus problem is NP-complete». Journal of Algorithms 10 (4): 568–576. ISSN 0196-6774. Zbl 0689.68071. doi:10.1016/0196-6774(89)90006-0. 
  7. ↑ Hirzebruch, Friedrich (1995). Topological methods in algebraic geometry. Classics in Mathematics. Translation from the German and appendix one by R. L. E. Schwarzenberger. Appendix two by A. Borel (Reprint of the 2nd, corr. print. of the 3rd edición). Berlin: Springer Science+Business Media. ISBN 978-3-540-58663-0. Zbl 0843.14009.  Parámetro desconocido |orig-year= ignorado (ayuda)
  8. ↑ Sułkowski, Piotr; Sulkowska, Joanna I.; Dabrowski-Tumanski, Pawel; Andersen, Ebbe Sloth; Geary, Cody; Zając, Sebastian (3 de diciembre de 2018). «Genus trace reveals the topological complexity and domain structure of biomolecules». Scientific Reports (en inglés) 8 (1): 17537. Bibcode:2018NatSR...817537Z. ISSN 2045-2322. PMC 6277428. PMID 30510290. doi:10.1038/s41598-018-35557-3. 

Bibliografía

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