Congruencia (geometría)

Figuras congruentes relacionadas mediante traslación.

Figuras congruentes relacionadas mediante reflexión.

Figuras congruentes relacionadas mediante reflexión y rotación.

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En matemáticas, dos figuras geométricas son congruentes si tienen los lados iguales y el mismo tamaño; si existe una isometría que los relaciona: una transformación que puede ser de traslación, rotación y/o reflexión. Dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, aunque su posición u orientación sean distintas. Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes.

Definición de congruencia en geometría analítica

En la geometría euclidiana, la congruencia es fundamental; es lo equivalente a igualdad matemática en aritmética y álgebra. En geometría analítica, la congruencia puede ser definida así: dos figuras determinadas por puntos sobre un sistema de coordenadas cartesianas son congruentes si y solo si, para cualquier par de puntos en la primera figura, la distancia euclidiana entre ellos es igual a la distancia euclidiana entre los puntos correspondientes en la segunda figura.

Definición formal: Dos subconjuntos A y B de un espacio euclídeo $\mathbb {R} ^{n}$ son llamados congruentes si existe una isometría $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ con $f(A)=B$.

Ángulos congruentes

Los ángulos opuestos son congruentes debido a que una rotación de 180° sobre su vértice hace coincidir uno y el otro.

• 
  Los ángulos $\alpha$ y $\beta$ son congruentes y opuestos por el vértice.
• 
  Una recta que corta dos paralelas generan ángulos congruentes.
• 
  Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes.

Congruencia de triángulos

Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida.

Notación: Si dos triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle DEF$ son congruentes, entonces la relación se notará como:

$\triangle \mathrm {ABC} \cong \triangle \mathrm {DEF}$

Criterios para deducir o establecer la congruencia de dos triángulos.

Criterios

Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes se establecen a través de los llamados teoremas de congruencia​ ​ los cuales son:

• Caso LAL: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus lados respectivos y el ángulo comprendido entre ellos.
• Caso ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus ángulos respectivos y el lado entre ellos.
• Caso LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales los tres lados.
• Caso LLA: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus lados respectivos y el ángulo opuesto mayor medida que ellos.
• Caso LAA: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales uno de los lados, el ángulo opuesto a dicho lado y otro de los ángulos.
• Caso AAL: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus ángulos respectivos y el lado opuesto a cualquiera de los ángulos. ​

(En el caso LLA el ángulo dado puede ser el opuesto a cualquiera de los lados, no necesariamente al mayor, cuando es un ángulo recto u obtuso).

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Véase también

Relaciones aritméticas entre ángulos:

• Ángulos complementarios
• Ángulos suplementarios
• Ángulos conjugados

Relaciones posicionales entre ángulos:

• Ángulos adyacentes
• Ángulos consecutivos
• Ángulos opuestos por el vértice
• Ángulos interiores y exteriores

Determinados por dos paralelas y una transversal

• Ángulos correspondientes
• (Ángulos alternos)

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Congruencia.
• http://www.uv.es/ivorra/Libros/Geometria.pdf
• The SSS en Cut-the-Knot.
• The SSA en Cut-the-Knot.