Números pares e impares

Los números pares son:

$\mathrm {pares} =\{\;...,\;-4,\;-2,\;0,\;2,\;4,\;6,\;8,\;...\;\}$

y los impares:

$\mathrm {impares} =\{\;...,\;-5,\;-3,\;-1,\;1,\;3,\;5,\;7,\;...\;\}$

La paridad de un número entero se refiere a su atributo de ser par o impar.​ Comparativamente, dos números son «de la misma paridad» si al dividirlos entre 2, el resto es el mismo, por ejemplo: "2" y "4", o "3" y "7"; son «de la misma paridad». Por el contrario los números "23" y "44" son «de distinta paridad».

Reconocimiento

Si la base de numeración utilizada es un número par (por ejemplo, base 10 o base 8), podremos reconocer un número par si su último dígito también es par. Por ejemplo, el siguiente número en base 10:

${352107706}_{10}$

es par ya que su último dígito: 6, también es par. Lo mismo sucede con el siguiente número en base 6:

${2145301354}_{6}={23211718}_{10}$

Si la base del sistema de numeración es impar (3, 5, etc), el número será par si el número de dígitos con cifra impar es par, en cualquier otro caso el número será impar. Por ejemplo, en base 3:

${120}_{3}={15}_{10}$

es impar, dado que el uno es la única cifra impar, mientras que:

${321}_{5}={86}_{10}$

Como el 3 y el 1 son impares, hay un número par de cifras impares y el número es par.

Paridad del cero

El cero es un número par, cumple con la definición así como con todas las propiedades de los números pares.

1. $I_{1}+I_{2}=2a+1+2b+1=2a+2b+2=2(a+b+1)=2n$
2. $P_{1}\cdot P_{2}=2a\cdot 2b=2(2\cdot a\cdot b)=2(c)=2n$
3. $P_{1}\cdot I_{1}=2a\cdot (2b+1)=2a\cdot 2b+2a=2c+2a=2(c+a)=2n$
4. $I_{1}\cdot I_{2}=(2a+1)\cdot (2b+1)=2a\cdot 2b+2a+2b+1=2c+2a+2b+1=2(c+a+b)+1=2n+1$
5. La potencias de base par son pares y recíprocamente si una potencia es par su base es par​
6. El resto de la división de un número par entre un número par es par; nada se colige del cociente que puede tener cualquier paridad.

Propiedades con respecto a la divisibilidad

• Dos números enteros consecutivos tienen paridad diferente.
• Dados tres enteros consecutivos, dos serán de la misma paridad y uno de ellos será necesariamente de paridad distinta de los otros dos.

Tipos especiales de números pares

• Los números perfectos, son pares.
• Los factoriales de un natural diferente de 1 y de 0 y los números primoriales son pares.
• Los números congruentes de Fibonacci son todos pares. Según la definición del mismo Fibonacci (Leonardo de Pisa, Filius Bonacci), que aparece en su libro "Liber Quadratorum" (1225), un número congruente es de la forma m·n (m² - n²), con m y n enteros positivos impares y m > n.

Tipos especiales de números impares

• Los números primos, con la única salvedad del 2, que es par. Se trata de aquellos números naturales que no tienen otros divisores más que ellos mismos y el 1.
  • Los números primos de la forma $\ 4\cdot n+1$, con n un número natural cualquiera, se descomponen de una única manera en suma de dos cuadrados de números enteros. Esto fue estudiado por Fermat y permite que ese primo sea la hipotenusa de un triángulo rectángulo diofántico o diofantino. Estas últimas dos palabras se refieren a triángulos con lados enteros positivos en honor a Diofanto de Alejandría, quien estudió los problemas en los que interesa obtener soluciones enteras.
  • Los primos de la forma $\ 4\cdot n+3$ no pueden expresarse como suma de dos cuadrados enteros, pero sí como diferencia de cuadrados. La raíz cuadrada del cuadrado mayor, o minuendo de la diferencia, es igual a $\ 2(n+1)$, donde n es el mismo natural que aparece en la expresión del número primo.

Definiciones en desuso

En el libro 7 de los Elementos de Euclides​ (definiciones 8 a 10) vienen definidas unas clases de números que, aunque hoy en desuso, han sido citadas de forma recurrente en libros históricos de matemáticas.

• Número parmente par, pariter par o propiamente par «es el medido por un número par según un número par». Sería, por tanto, el producto de dos números pares (todos son múltiplos de 4).
• Número parmente impar o pariter impar «es el medido por un número par según un número impar», es decir, el producto de un número par por un número impar.
• Número imparmente impar, impariter impar o propiamente impar «es el medido por un número impar según un número impar», es decir, el producto de dos números impares.

Observaciones:

• En estas definiciones, el 1 no cuenta como número,​​ por lo que los números imparmente impares son exactamente los números impares compuestos. Estos son los números que se emplean en la criba de Sundaram para hallar números primos: un número primo será todo número impar (con la consabida excepción del 2) que no esté en la criba de Sundaram.
• Algunos números se consideran tanto parmente pares como parmente impares. Por ejemplo, 24 es igual a 6 por 4, así que es parmente par; pero también es igual a 3 por 8, con lo que es parmente impar.

Algunas fuentes, tales como Dorado contador. Aritmética especulativa y práctica (1794)​ y el más reciente Enjambre matemático,​ utilizan otra definición para los números parmente pares: no se trata de los que son productos de dos pares, sino de los que sólo se pueden expresar como producto de dos pares (exceptuando, por supuesto, el producto de sí mismos por uno). Según esta definición, los números parmente pares son exactamente las potencias de 2. Asimismo, definen el número parmente impar como el múltiplo de una potencia de 2 por un número impar e introducen el concepto, ausente en la obra de Euclides,​ de número imparmente par como un número que es doble de un número impar. La definición del número imparmente impar no sufre variación.

El libro Llave aritmética y algebrayca​ utiliza las primeras definiciones y explica el caso de que haya números que son simultáneamente parmente pares y parmente impares. Esta definición, además, queda reforzada en la proposición 32 del libro 9 de los Elementos,​ que explica así: «Cada uno de los números (que es continuamente) duplicado a partir de una díada es solamente un (número) parmente par».

Divisibilidad par

Sea el conjunto de los pares $2\mathbb {Z}$ = {0, 2, 4, 6, 8, 10,...2n..., n cualquier natural}.​

Sean a b, c elementos de $2\mathbb {Z}$, se dirá que a|p b si existe c tal que b = ac. También se dice que b es divisible parmente​

Por ejemplo 8 | 16 pues 16 = 2·8

Primo en $2\mathbb {Z}$

el elemento a es primo en 2Z si no existe un elemento de 2Z que lo divida. Por ejemplo 6, 10, pues no hay elemento de 2Z que lo dividan parmente.

• Los primos de $2\mathbb {Z}$ son el producto de los impares por 2 únicamente.

Divisores de un número

Fuera de los primos en sentido par, los otros números tienen más de dos divisores

para el caso 24 tiene como divisores 2, 4, 6, 12, 8 no es divisor parmente de 24.

Divisores comunes

48 y 32 tienen como divisores comunes 2, 4, 8, 16 no, porque no divide parmente a 48​

Máximo común divisor parmente

El mayor de los diviores comunes de dos elementos de $2\mathbb {Z}$ se llama máximo común divisor

Por ejemplo m.c.d.(32,48) = 8

Véase también

• Número
• Matemáticas
• Paridad del cero
• Función par
• Permutación par