Congruencia (teoría de números)

Congruencia es un término usado en la teoría de números, para designar que dos números enteros $a\,\textstyle {\text{y}}\displaystyle \,b$ tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural $m\,\neq \,0$, llamado módulo; esto se expresa utilizando la notación:

$a\equiv b{\pmod {m}}$

que se expresa diciendo que: $a\,$ es congruente con $b\,$ módulo $m\,$. De donde se define que dos números $a\,\textstyle {\text{y}}\displaystyle \,b$ son congruentes en módulo $m\,\neq \,0$ «» (sí y solo si) :

• $m\,$ divide exactamente a la diferencia de $a\,$ y $b\,$

$m\mid a-b$

o lo que es lo mismo, $a\,\textstyle {\text{y}}\displaystyle \,b$ dejan el mismo resto en la división por $m\,$. Además, también se puede afirmar que:

• $a\,$ se puede escribir como la suma de $b\,$ y un múltiplo de $m\,$, pues si: $m\mid a-b$ » (entonces), $mk=a-b$, para algún $k\in \mathbb {Z} \quad (entonces)\ a=b+km$

El término congruencia se utiliza además con dos sentidos ligeramente diferentes: por un lado con el sentido de identidad matemática, como ejemplo de este uso tenemos el pequeño teorema de Fermat que asegura que para cada primo $p\,$ y cada entero $a\,$ no divisible por $p\,$ tenemos la congruencia:

$a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.$​

Por otro lado se utiliza en el sentido de ecuación, donde aparecen una o más incógnitas, y nos preguntamos si una congruencia tiene solución y en caso afirmativo cuáles son todas sus soluciones, por ejemplo la congruencia $x^{2}-5\equiv 0{\pmod {11}}$, tiene solución, y todas sus soluciones vienen dadas por $x\equiv 4{\pmod {11}}$ y $x\equiv 7{\pmod {11}}$, es decir $x\,$ puede ser cualquier entero de las sucesiones $11k+4\,$ y $11k+7\,$. Contrariamente la congruencia $x^{2}-2\equiv 0{\pmod {11}}$, no tiene solución.

La notación y la relación terminología fueron introducidas por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae en 1801. Su utilización se ha extendido a muchos otros entornos en los que podemos hablar de divisibilidad, por ejemplo a polinomios con coeficientes en un cuerpo, a ideales de anillos de números algebraicos, etc.

Propiedades

La relación de congruencia tiene muchas propiedades en común con la igualdad matemática, por citar alguna:

• La congruencia para un módulo $a\equiv b{\pmod {m}}$ entonces también $b\equiv a{\pmod {m}}$

1. transitividad: si $a\equiv b{\pmod {m}}$ y $b\equiv c{\pmod {m}}$ entonces también $a\equiv c{\pmod {m}}$.

• Si $a\,$ es coprimo con $m\,$ y $a\equiv b{\pmod {m}}$, entonces $b\,$ también es coprimo con $m\,$.

• Si $a\equiv b{\pmod {m}}$ y $k\,$ es un entero entonces también se cumple
  • $a\pm k\equiv b\pm k{\pmod {m}}$
  • $ka\equiv kb{\pmod {m}}$
  • $a^{k}\equiv b^{k}{\pmod {m}}\qquad k>0$

• Si además $k\,$ es coprimo con $m\,$, entonces podemos encontrar un entero $h^{-1}\,$, tal que

$kh^{-1}\equiv 1{\pmod {m}}$

y entonces tiene perfecto sentido hablar de la división y también es cierto que

${\frac {a}{k}}\equiv {\frac {b}{k}}{\pmod {m}}$

donde por definición ponemos $a/k=ak^{-1}\,$.

• Como consecuencia de lo anterior, si tenemos dos congruencias con igual módulo:

$a\equiv b{\pmod {m}}$ y $c\equiv d{\pmod {m}}$

podemos sumarlas, restarlas o multiplicarlas de forma que también se verifican las congruencias

$a+c\equiv b+d{\pmod {m}}$ y $ac\equiv bd{\pmod {m}}$

Véase también

• Aritmética modular

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Congruence». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Congruencias. Lecciones de Álgebra. Jaime Gutierrez Gutierrez y Carlos Ruiz de Velasco y Bellas Archivado el 21 de junio de 2012 en Wayback Machine.
• David M.Burton: "Elementary Number Theory"
• Enrique Arrondo: "Apuntes de Teoría Elemental de Números". En http://www.mat.ucm.es/~arrondo/ten.pdf
• Eduardo Miguel Pérez Almarales: "Congruencia Aritmética para Olimpiada de Matemática". Más sobre él en https://scholar.google.com.cu/citations?user=2U2wbD0AAAAJ&hl=es
• María Luisa Pérez Seguí: "Teoría de Numeros: Cuadernos de Olimpiadas de Matemáticas". En https://www.freelibros.me/matematicas/teoria-de-numeros-maria-luisa-perez-segui

• Datos: Q3773677