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Un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de varias ecuaciones diferenciales con varias funciones incógnitas y un conjunto de condiciones de contorno. Una solución del mismo es un conjunto de funciones diferenciables que satisfacen todas y cada una de las ecuaciones del sistema. Según el tipo de ecuaciones diferenciales puede tenerse un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias o un sistema de ecuaciones en derivadas parciales.

Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias

En un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de cualquier orden, puede ser reducido a un sistema equivalente de primer orden, si se introducen nuevas variables y ecuaciones. Por esa razón en este artículo sólo se consideran sistemas de ecuaciones de primer orden. Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden escrito en forma explícita es un sistema de ecuaciones de la forma:

${\begin{cases}{\cfrac {dx_{1}}{dt}}=F_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n};t)\\{\cfrac {dx_{2}}{dt}}=F_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n};t)\\\ldots \\{\cfrac {dx_{n}}{dt}}=F_{n}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n};t)\end{cases}}$

Reducción a un sistema de primer orden

Dado un sistema de ecuaciones diferenciales de orden n con m ecuaciones:

$F_{i}\left(x_{j},{\frac {dx_{j}}{dt}},\ldots ,{\frac {d^{n}x_{j}}{dt^{n}}};t\right)=0\qquad {\mbox{con}}\ i,j\in \{1,2,\ldots ,m\}$

Existe un sistema equivalente de primer orden con a lo sumo (n+1) x m ecuaciones. Para ver esto consideremos un sistema en que intervienen m funciones incógnitas x_i y sus n derivadas, e introduzcamos un nuevo conjunto de variables y_i,k definidos de la siguiente manera:

$y_{i,k}(t):={\frac {d^{k}x_{i}(t)}{dt^{k}}}$

El sistema de primer orden equivalente en las variables y_i,k resulta ser:

${\begin{cases}y_{i,k+1}={\cfrac {dy_{i,k}}{dt}}&k\in \{0,2,\ldots ,n-1\}\\F_{i}\left(y_{j,0},y_{j,1},\ldots ,y_{j,n};t\right)=0&i,j\in \{1,2,\ldots ,m\}\end{cases}}$

Como ejemplo de reducción de un sistema de ecuaciones diferenciales podemos considerar las ecuaciones de movimiento de la mecánica newtoniana de una partícula que es un sistema de segundo orden con tres ecuaciones:

${\begin{cases}m{\cfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}=F_{x}\left(x,y,z;{\cfrac {dx}{dt}},{\cfrac {dy}{dt}},{\cfrac {dz}{dt}};t\right)\\m{\cfrac {d^{2}y}{dt^{2}}}=F_{y}\left(x,y,z;{\cfrac {dx}{dt}},{\cfrac {dy}{dt}},{\cfrac {dz}{dt}};t\right)\\m{\cfrac {d^{2}z}{dt^{2}}}=F_{z}\left(x,y,z;{\cfrac {dx}{dt}},{\cfrac {dy}{dt}},{\cfrac {dz}{dt}};t\right)\end{cases}}$

Si se introducen tres funciones incógnita nuevas que representan la velocidad, el sistema anterior se puede reducir a un sistema de primer orden y seis ecuaciones:

${\begin{cases}{\cfrac {dx}{dt}}=v_{x}(t),&m{\cfrac {dv_{x}}{dt}}=F_{x}\left(x,y,z;v_{x},v_{y},v_{z};t\right)\\{\cfrac {dy}{dt}}=v_{y}(t),&m{\cfrac {dv_{y}}{dt}}=F_{y}\left(x,y,z;v_{x},v_{y},v_{z};t\right)\\{\cfrac {dz}{dt}}=v_{z}(t),&m{\cfrac {dv_{z}}{dt}}=F_{z}\left(x,y,z;v_{x},v_{y},v_{z};t\right)\end{cases}}$

Existencia y unicidad de la solución

Un sistema de ecuaciones diferenciales general tiene la forma:

(*)${\dot {X}}(t)=A(t)X(t)+f(t),\qquad X(t_{0})=X_{0},\ t_{0}\in [t_{1},t_{2}]$

Donde:

${f}(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ es una función vectorial.

$A(t)\in {\mathcal {L}}(R^{n},R^{n})$ es una función matricial.

Aplicando el Teorema de Picard-Lindelöf a los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma (*), se establece la existencia y unicidad de la solución de dicho sistema en las que tanto la matriz $A(t)$ como la función $f(t)$ sean continuas en un intervalo compacto $[t_{1},t_{2}]$.

La demostración se basa en el hecho de que la función $F(t,X)=A(t)X+f(t)$ es Lipschitz respecto a $X$, para todo $X\in \mathbb {R} ^{n}$ si $t\in [t_{1},t_{2}]$. A partir del resultado del teorema se puede concluir que la sucesión de Picard

$X_{k+1}=X_{0}+\int _{t_{0}}^{t}A(s)X_{k}(s)+f(s)\ ds$

converge a la solución.

Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales ordinarias

Un sistema lineal de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes es un sistema de la forma:

${\begin{bmatrix}{x_{1}}'(t)\\{x_{2}}'(t)\\\dots \\{x_{n}}'(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1,1}(t)&a_{1,2}(t)&a_{1,3}(t)&\dots &a_{1,n}(t)\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\a_{n,1}(t)&a_{n,2}(t)&a_{n,3}(t)&\dots &a_{n,n}(t)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{x_{1}}(t)\\{x_{2}}(t)\\\dots \\{x_{n}}(t)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}{b_{1}}(t)\\{b_{2}}(t)\\\dots \\{b_{n}}(t)\end{bmatrix}}$

Que de forma abreviada denotaremos como:

$X^{'}(t)=A(t)\cdot X(t)+{\overrightarrow {b(t)}}$

Cuando el sistema anterior verifica que ${\overrightarrow {b(t)}}=0$ decimos que el sistema anterior es homogéneo, en caso contrario diremos que es no homogéneo.

Llamamos sistema fundamental de ecuaciones al conjunto de $n$ soluciones independientes del sistema homogéneo. (Obsérvese que dichas soluciones son vectores).

La matriz que cuyas columnas representan cada una de las soluciones anteriores recibe el nombre de matriz fundamental $\phi (t)$ y verifica que $\phi (t)^{'}=A\cdot \phi (t)$.

Si dada una matriz fundamental existe un $t$ tal que la matriz resultante es la identidad diremos que dicha matriz es la matriz principal en $t$.

La resolución de estos sistemas es muy diversa. Sin embargo, la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales se simplifica mucho si las ecuaciones son de coeficientes constantes, o lo que es lo mismo, un sistema autónomo.

Bibliografía

• Denise Gutermuth: “Picard’s existence and uniqueness theorem”

• Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society.