Ecuaciones diferenciales autónomas

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Ir a la navegación Ir a la búsqueda

En matemáticas, una ecuación diferencial autónoma es una ecuación diferencial que no depende explícitamente de la variable independiente.

Definición[editar]

Una ecuación autónoma de orden es una ecuación diferencial ordinaria de la forma:

donde toma valores en un espacio Euclídeo. Son casos particulares de ecuaciones diferenciales ordinarias de orden en los que la función no depende explícitamente del parámetro (que habitualmente se interpreta como tiempo). En particular, una ecuación autónoma de orden 1 es de la forma
Un punto se dice punto crítico de la ecuación diferencial si cumple .

Propiedades de las soluciones[editar]

Invarianza por traslaciones[editar]

Si es solución de la ecuación diferencial, entonces toda traslación suya también lo es.

Demostración
Sea una solución particular con dominio . Por lo tanto, para todo , verifica


Ahora, para cada , sea una traslación de la solución. Veamos ahora que también es una solución a la ecuación autónoma. Usando la definición de , la regla de la cadena y que es solución, se tiene que:


Por lo tanto, es solución de la ecuación autónoma con dominio .

Monotonía de las soluciones no constantes[editar]

Si la ecuación tiene solución única para todo dato inicial y es una función continua, entonces toda solución no constante es estrictamente monótona.

Demostración
Sea una solución de la ecuación. Basta ver que, o bien es constante, o bien en todo punto.
Si no es idénticamente nula, entonces tal que , es decir, es un punto crítico de la ecuación. Por lo tanto, la función constante es también solución.
Aplicando la hipótesis de unicidad se tiene que .

Existencia de soluciones[editar]

Para cada dato inicial , el problema de Cauchy o de valores iniciales

con una función continua tiene, por lo menos, una solución definida en un entorno de .

Demostración
En primer lugar, si , la función constante es solución. En efecto, y claramente cumple la condición inicial.



En caso de que no se anule en y dado que es una función continua, existe todo un entorno de donde no se anula. En ese entorno, la siguiente expresión tiene sentido puesto que el denominador es distinto de cero en todo punto:


Definimos para todo punto del intervalo donde no se anula la siguiente función: . Usando esta nueva función, la regla de la cadena y el teorema fundamental del cálculo, la ecuación se puede escribir alternativamente de la siguiente forma:


Integrando ambos lados entre y y usando la condición inicial se tiene


Nótese que es una función monótona al ser la integral de una función que no cambia de signo ( no se anula) en todo el intervalo de integración. Por lo tanto, es biyectiva en su imagen y su inversa está bien definida. Así pues, aplicando la inversa a ambos lados, se obtiene la solución local

Unicidad de soluciones[editar]

Para el estudio de unicidad del problema de Cauchy se ha de distinguir entre datos iniciales que sean puntos críticos de y el resto de puntos.

Datos iniciales que no sean puntos críticos[editar]

Dado un punto inicial que verifica (con una función continua en ), existe una única solución al problema de Cauchy.

Demostración
Sea una solución definida en un entorno de distinta a la construida en el apartado anterior. Tomando la composición de y derivando se obtiene lo siguiente:


Así pues, . Es decir, la función es la inversa de y, por ende, no es una solución distinta a la ya construida.

Puntos críticos como dato inicial[editar]

Para los puntos críticos, el estudio de la inversa de la solución, , sirve para determinar la unicidad. Si la solución es única, es decir, la recta horizontal (con un punto crítico) es una asíntota horizontal de la solución, presentará una asíntota vertical. Por el contrario, si la solución no es única, la inversa de la solución no tendrá una asíntota vertical. Por lo tanto, la unicidad de las soluciones para cada punto crítico se reduce al estudio de la integral impropia . Si la integral converge la solución no es única, mientras que si diverge, hay unicidad.

Puntos críticos y estabilidad[editar]

Se llaman soluciones estacionarias de la ecuación autónoma de primer orden a todas las funciones constates de la forma , siendo un punto crítico.

Dado el problema de Cauchy


sea un punto crítico. Diremos que es una solución estable si dado , existe tal que para todo punto con se tiene que la solución maximal del problema de valor inicial está definida para todo y . Por otro lado, diremos que a es asintóticamente estable si es estable y además existe tal que si , entonces la solución del problema de valor inicial verifica: Finalmente, diremos que es inestable si no es estable.

Un criterio para establecer el comportamiento de las soluciones estacionarias es el signo de . Si entonces es asintóticamente estable. Si entonces no es estable. En el caso de que la derivada sea igual a 0, no se puede concluir nada.

Ejemplo[editar]

La ecuación diferencial es autónoma. El siguiente código de Matlab genera una gráfica en la que se muestran

Campo de pendientes y soluciones

algunas soluciones particulares de la ecuación para distintos datos iniciales. Además en él se grafican los campos de pendientes.

Por otro lado se hallan las soluciones estacionarias e ,

y como solución que depende de la constante .

Ffun = @(X, Y)(2 - Y) .* Y; % función f(x,y)=(2-y)y
[X, Y] = meshgrid(0:.2:6, -1:.2:3); % tamaños de la gráfica
DY = Ffun(X, Y); DX = ones(size(DY)); % valores de la gráfica
quiver(X, Y, DX, DY, 'k'); % graficamos el campo de pendientes en negro
hold on
title('Campo de pendientes y soluciones particulares para f(x,y)=(2-y)y')
syms y(x);
equation = (diff(y) == (2 - y) * y);
% resolvemos la ecuación diferencial para hallar una solución general
y_general = dsolve(equation);
% resolvemos para distintos valores iniciales
y1 = dsolve(equation, y(1) == 1); y2 = dsolve(equation, y(2) == 1);
y3 = dsolve(equation, y(3) == 1); y4 = dsolve(equation, y(1) == 3);
y5 = dsolve(equation, y(2) == 3); y6 = dsolve(equation, y(3) == 3);
% graficamos las soluciones
ezplot(y1, [0 6]); ezplot(y2, [0 6]); ezplot(y3, [0 6]);
ezplot(y4, [0 6]); ezplot(y5, [0 6]); ezplot(y6, [0 6]);
legend('Campo de pendientes', 'Soluciones particulares');
grid on;

Referencias[editar]

V.I. Arnold "Ecuaciones Diferenciales Ordinarias”

L. Perko. “Differential Equations and Dynamical Systems"

Wikipedia contributors. (2022, March 21). Autonomous system (mathematics). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 09:19, May 3, 2022