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Implementación física de puertas cuánticas

Implementación de puertas cuánticas con óptica lineal

La computación cuántica con óptica lineal (LOQC) permite la creación de computación cuántica universal. En este marco, los fotones son los encargados de "portar" la información, y se usan elementos ópticos lineales (como pueden ser divisores de haz, phase shifters, y espejos) para procesar la información cuántica. Para la detección y almacenamiento de dicha información se emplean detectores de fotones y memorias cuánticas.​

Para lograr la computación cuántica universal, la LOQC debe ser capaz de "construir" un conjunto complejo de puertas universales.​ Esto puede conseguirse en el marco del protocolo KLM.​​ El esquema KLM es una implementación de computación cuántica con óptica lineal (LOQC), que fue desarrollado en el año 2000 por Knill, Laflamme and Milburn, y que permite la implementación de computación cuántica universal a partir, exclusivamente, de elementos de óptica lineal. Más concretamente, este protocolo usa, además de los elementos mencionados, fuentes de emisión de fotones individuales y fotodetectores.​

Dejando de lado lo relacionado con corrección de errores y otros problemas experimentales, lo fundamental a la hora de implementar puertas cuánticas elementales usando tan sólo los elementos mencionados es que se puede construir un operación unitaria sobre un cúbit. Tal y como se ha mencionado previamente, con ellos es posible crear un conjunto completo de puertas universales. ​

La matriz unitaria que se asocia a un divisor de haz, $\mathbf {B} _{\theta ,\phi }$, es:

$U(\mathbf {B} _{\theta ,\phi })={\begin{bmatrix}\cos \theta &-e^{i\phi }\sin \theta \\e^{-i\phi }\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}$,

donde $\theta$ y $\phi$ se determinan a partir de la amplitud de reflexión, $r$, y la transmisión de amplitud, $t$, (más adelante se indica la expresión que los relaciona para un caso sencillo). Para un separador de haz simétrico, esto es, con desfasaje o phase shift $\phi ={\frac {\pi }{2}}$, y teniendo en cuenta las condiciones de un divisor de haz clásico ideal​: $|t|^{2}+|r|^{2}=1$ y $t^{*}r+tr^{*}=0$​​​, puede demostrarse que:

$U(\mathbf {B} _{\theta ,\phi ={\frac {\pi }{2}}})={\begin{bmatrix}t&r\\r&t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-i\sin \theta \\-i\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}=\cos \theta {\hat {I}}-i\sin \theta {\hat {\sigma }}_{x}=e^{-i\theta {\hat {\sigma }}_{x}},$

que no es más que la rotación de ángulo $2\theta =2\cos ^{-1}(|t|)$ de un cúbit en torno al eje $x$ en la esfera de Bloch.​

Un espejo es un caso particular en el que el coeficiente de reflexión 1. Por lo tanto, el operador unitario asociado vendrá dado por una matriz de rotación:

$R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}$.

Generalmente, los espejos empleados en procesamiento de información cuántica (QIP), el ángulo de incidencia es $\theta =45^{\circ }$.

De igual forma, un operador de desfasaje o phase shift $\mathbf {P} _{\phi }$ tiene por operador unitario asociado $U(\mathbf {P} _{\phi })=e^{i\phi }$, o en forma matricial:

$U(\mathbf {P} _{\phi })={\begin{bmatrix}e^{i\phi }&0\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e^{i\phi /2}&0\\0&e^{-i\phi /2}\end{bmatrix}}{\text{(fase global que se omite)}}=e^{i{\frac {\phi }{2}}{\hat {\sigma }}_{z}}$,

que es equivalente a una rotación de ángulo $-\phi$ en torno al eje $z$.​

Dado que cualesquiera dos rotaciones del grupo $SU(2)$ en torno a ejes ortogonales pueden generar cualquier rotación en la esfera de Bloch, a partir de divisores de haz, espejos y phase shifters, podremos obtener cualquier operador del grupo $SU(2)$. ​

Véase también

• Matrices de Pauli
• Esfera de Bloch
• Computación cuántica
• Divisor de haz
• Puerta cuántica
• Grupo unitario especial